AX 1 * M
aS ax
— i=<>'(a;-f Ao:) + ,-s?"(« + AX+c, Ax)=î>'(a;+Ax)+A-R,,
^*=. y'(x+ 2ax) + f^p"(x + 2ax + £,a«) =p'(x+2ax) +
AX 1*2
AX«Rs .
etc. etc. etc.
■ ^' = /(3g+ n— 1 AX) + ~ > //(x -f n— 1 AX + gn-i AX)
= /(x + n — 1 AX)-{- AX»Rn-i»
Soit T = R + R, + R, + ,..+R^,,
on trouve, en ajoutant ,
(a) i2Zli = y'ac+/(x + Ax) + ?'(aî + 2Ax)H-.o +
AX
?'(x+ n— 1 Ax) + Ax.T.
Mais en désignant par x, et Xn les abscisses des points N et N»?
Xn X
on a AX=s , et nAx = Xn — x = h.
Si dans nAx=A, nous changeons n en •-., et ax en 0. on h . ^
aura toujours — X0=:A. Mais ax=0, peut s'écrire ax = c(x;
on a donc ndx = h , quand n a la valeur ci-dessus , et Ton pourra
écrire :
n — 1 dx = ndx — dx=^h — dx=h.
Si donc nous posons dans l'équation (a), n^-j-, donc A^^dx , elle devient :
i!^==f'x + ^'(^+dx)+^'(x + 2dx)+,..+/(x + /i) + cfa.T. Mais le terme dx^T pouvant être supprimé, on a : ç^—ç = dx\ /i>P + ?'(a:+dx) + y/(x-J-2dx) + ...+/(x+A)}
= / f'xdx.
Mais on a S=yx, donc dS^=^fxdx; donc
Or, on a évidemment /c?5 = «4- c, donc
Soit S„ = y(x + A), Sflk = ?ac, on a
aî+A d$ = Sn — So.
Mais Sn étant I*are indéfini de la développée correspondant au point N„, et S© celui qui répond au point N, on a évidemment
arcN„N«S«— So = S; on a donc
Corollaire. Soit un fil inextensible d'une longueur ^ , fixé au point Nn de la développée, et roulé sur cette courbe. Soit M l'autre extrémité du même fil , si on le déroule de manière qu'il reste toujours tangent à la développée, le point mobile M décrira évidemment la développante.
2"** Problême. Chercher l'équation différentielle de la développante, étant donnée l'équation de la développée.
Soit F(û6,/3)=0 (1) l'équation de la développée, y=fx celle de la développante dont on cherche l'équation différentielle; au point x,y de celle-ci répond le point a,& deh développée, et l'on a, entre ces points la relation
dx L'équation de la normale au point M(x, j/) de la développante est
a:-.« + (y-^)==^=0. (3) Donc, en éliminant cceK ^ entre les trois équations (l)i (2) et
et (3), on aura une équation entre «,y, ~- , telle que '4^(Xyy, — -) = 0, qui sera Féquation différentielle de la Développante cherchée.
