Coordonnées polaires
Cherchons l'équation polaire de la développée. Soit N(«,/3) les coordonnées polaires du cercle de courbure du point M (r, e) de la développante donnée r = f (e) . Joignons les points N et M , celte droite sera tangente à la développée et normale à la développante. Menons une tangente à la développante au point M , et abaissons du pôle une perpendiculaire sur chacune de ces tangentes. Soit P le pied de la perpendiculaire à la tangente de la développée , Q celui de la perpendiculaire à la tangente de la développante , et nommons p et q les longueurs respectives de ces perpendiculaires, on aura
q=»rsinfi = f(r), (I
fi est, comme toujours, Tangle OMQ, que le rayon vecteur au point M fait avec la tangente en ce point.
Soit y Tangle que la tangente au point N de la développée fait avec le rayon vecteur /3 de ce point , on aura pareillement
p = fisiny»
Mais on a y = 90--[« — e — fi] , donc p est une fonction de/? et de a, que je représenterai par
Mais on a évidemment
ç désignant le rayon de coubure M N == — .
Donc, en éliminant r et 9, entre les trois équations (1^ (2, (3 on aura une relation entre p et /3, et si pour p nous mettons sa valeur '/'(^?/3), on aura une relation entre a et fi , telle
qui sera Téquation cherchée.
Rem. On a qszrsinfi, et s\n fi==
donc
de-
Cette équation donne , par la différentiatîon
dq ^ * rfo^ do' -■ ^
on a donc
rdr
et par conséquent Féquation (3 peut s'écrire de celte manière
Donc les équations entre lesquelles il faut éliminer r et g, sont les suivantes :
^ ^ ^ dq (tq^
L'équation résullanle sera de la forme
Donc, en éliminant p entre celle-ci, et pss\p(af0), on aura lequation cherchée
Applicatif
1*' Exemple. Kéquation de la cycloïde ordinaire est
oc y = R •arc sin vers» — + r 2Rx — x^ , R
R est le rayon du cercle générateur. On en déduit
dy ^ .2R— X cPy R
dx X ' dx^ xJ/2Ra? — 0?
Donc, les formules
do? da?
deviennent :
a, = 4R — X, /3 = R*arc sin vers -5 — K2rx — x' .
Donc j en éliminant x entre ces équations , on obtient :
i3 = Rare sin vers i^tf. |/ j 2R(4R-«) — (4R— «)» j,
pour Téquation de la développée. Cette équation est celle d'une cycloïde égale à la proposée , comme on s'en assure facilement en transportant Torigine du sommet au point initial.
2'°'' Exenip. Soit y*ssspx l'équation de la parabole, il vient : dy l/p d^y ^ \/p dx 2j/x' dx' 4xK"x'
on a par conséquent
« = 1/7 4- Sx, = -.ifl^
En éliminant x, on trouve
3"' Exemp. L'ellipse a'y + 6'x' = a»6' donne dy bx cPy nb
1^~ a I/o»— a:'' f^** ~ (o*— a;')' On a donc
D'où : (a«)^ + (6/3)î = (o'-6«)JJ J+^|=(a.-6«/j
c'est l'équation de la développée de TEIlipse.
En changeant 6 en bV — \ , on aura celle de Phyperbole
ou (o«)f (6^)î= (a« + 6')'.
Si l'on fait a s» 6, dans la première de ces équations on trouve
«y-j./3^=0 ou «=:0,/3=0;
donc la développée du cercle se réduit à un point qui est son centre.
Pour l'hyperbole équilatère, où 6= a, la 2** des équations cidessus conduit à
i"*"" Exemp. Soit r^a^ l'équation de la Spirale logarithmique,
r on trouve q = " . q étant la perpendiculaire abaissée du
J^l-f-log'a
pôle sur la tangente en M(r,e). Car on a (I) 9 = rsin/ee,
sin/E£s=s — — j •— =o®»loga = rloga.
\ / dr "^
Donc p-Kr'-?*=V'^___îl^4i^f ,v,.
l + lo8«a |/i+|og'a'
dr .^-r ■
-- = |/l+log'a.
On a de plus
( dr dr* ]
d'où: i^=. *
^ |/l+log'a
fi p = -- ; donc enfln /3 = a^ , « étant
|/l + log'o
Tangle que le rayon vecteur /3 fait avec Taxe fixe du pôle. L'on voit que la développée de la Spirale logarithme, est aussi une Spirale logarithmique égale à la Spirale donnée.
Contacts des divers ordres^ et osgulation.
Définitions et notations. Nous représenterons par y=^tx une courbe donnée y et par y = fx, une courbe inconnue, d'une espèce telle qu'elle exige , pour être connue , la détermination de n constantes, ou n points', par lesquelles elle est assujettie à passer. Prenons sur la 1" courbe n points M, M,, M,, Mj, ... M»-i, ayant pour abscisses respectivement
X, x + Ax, x + 2Ax, x-|- 3ax, ...x + n— 1 ax; les ordonnées correspondantes seront f(x), f(x+Ax), f(aî+2Ax), f(x+3Ax), ... f(x + iriÎAx).
Si la S**' courbe y = ?«, a avec la T* les n points M, Mi , M, , M,,-. Mn— 1 communs, les abscisses de ces points seront les mêmes que celles ci-dessus, et les ordonnées étant respectivement
?x, f{x + Ax)y y(x-h2AX), ?(x+3ax),... y(x-|-n — lAX), on aura évidemment les équations f X = î>x ,
f(x + Ax) =y(x+ AX) , 1
f(x+2Ax)=^(x + 2Ax), f
f(x+3Aa;) = y(x+3Ax), } ^^^
f(x+w— 1 Ax) = f (x-{-n — Iax). / Si les points M| , M, , .«• Mn-j s'approchent de plus en plus du
point M j ce qui arrivera^ quand ax diminuera de plus en plus, la courbe y=ifx, assujettie à passer toujours par ces points, changera bien dans ses dimensions » mais elle restera toujours de la même espèce, attendu que la nature de celte courbe dépend de n points, ou de n constantes.
1*" Supposons que les deux courbes aient deux points communs, savoir M et M|.
Pour exprimer que le point M| vient à coïncider avec le point M, il faut poser AXa=0; dans ce cas la courbe y=^fOs, déterminée par la condition unique qu'un de ses points M^ coïncide avec le point M de la courbe ymmfx, est dit avoir avec celle-ci un contact du l""' ordre.
Donc, les conditions analytiques du contact du i*' ordre sont :
f(a: + Aa:)==f{x + Ax), [ (2) Aar =» 0. )
^ Supposons que les deux courbes aient trois points communs , savoir M , M| , M, •
Pour exprimer que le point M, vient à coïncider avec le point M, il faut poser 2A^=0. Si alors ta courbe y^ssfx est dîéter* minée par la condition que seulement deux de ses points M^ et M, coïncident avec le point M de la courbe y=a{x, on dit qu'elle a un contact du 2** ordre avec celle-ci.
D'où il suit , que les conditions analytiques du contact du 2^
ordre sont :
f(x + Aa;) = y(a; + Ax),
Ax = 0, \ (3)
f(a;+2Aa;) = y(a;+2Aa?), 2ax=0.
11 suit de là, que les conditions d'un contact du o"** ordre seront :
f(x+Aa:) = f(a:+Ax),
Ax = 0, f(x+2Ax) = ^(x+2Ax), ) (*)
2ax = 0, f(x-|- 3 Ax)=^(x+ 3ax) ,
3ax=0.
Comme la courbe yss^x, exige n constantes pour être déterminée, et par conséquent n équations entre ces constantes , il est clair qu'aucun des systèmes d'équations (2), (3), (4)^ ... ne saurait déterminer ces n constantes^ quand le nombre des équations de chacun est inférieur à n. Mais Ton voit déjà que le second système déterminera plus de ces constantes que le !•% le 3"** plus que le 2^, et ainsi de suite. Donc, la courbe ymm^^x, déterminée par le V système I sera moins indéterminée que celle qui se rapporte au 1"*' système; celle déterminée par le 3°'* système sera également moins indéterminée , que quand la courbe n'est déterminée que parles systèmes précédents , et ainsi de suite. La courbe j^afâ? sera par conséquent d*autant mieux déterminée qu'elle aura un contact plus élevé avec la courbe donnée ys^tx.
3** Supposons enfin que les deux courbes aient n points communs, savoir M, M^, M,, ... M^-i, M»-!.
Pour exprimer que le point Mn^i de la courbe y^fx coïncide avec le point M de la courbe ycafx, il faut poser n--l AXaO. Si la courbe inconnue est déterminée par la condition que les n points dont sa détermination dépend^ savoir les points M,M|, M, , ... Mn^i coïncident avec le point M de l'autre courbe, on dit qu'elle a avec celle-ci un contact du n— 1 ordre. Donc les conditions analytiques de ce contact le plus élevé seront ;
f(x4. Ax) = f(a;+Aa?) ,
AX=rO,
fa?4-!2Aa?) = f(x + 2Ax),
2Aa:=0, f{x+3Ax) = y(x + 3A«), ^ ^ ^
3ax = ,
f (X + n— 1 Ax) = f (A +W — 1 AX) ,
n — lAa = 0.
Mais ce système contenant n équations entre les n constantes par lesquelles la courbe inconnue y-^fx est déterminée, on pourra résoudre ces équations par rapport à ces constantes , et les substituer. dans l'équation y*^fx, et l'on obtiendra une courbe y = fn^ix de celte espèce , parfaitement connue, que Ton nomme la courbe osculatrice de l'espèce ysifx^ au point M(x,2^) de la
courbe donnée yasfx. La courbe oseulatrice est donc une courbe de l'espèce j/b ^x, qui a, avec la courbe donnée y^tx, au point M(x,y) , le contact le plus élevé ou de l'ordre n — 1.
Si y = fiX, î/-=f,a?, y = f5aî,..- y = f»-i«;
sont les courbes de contact du 1*% 2"% ... n— 2 ordre, en tant qu'elles résultent des systèmes d'équations (2), (3) , (4) ... (n— 1), toutes ces courbes renfermeront encore des constantes indéterminées , mais, en général, chacune en renfermera une de moins que celle qui la précède à gauche; la courbe oseulatrice y^fnr-i^f sera seule complètement déterminée.
Bédaellon de» ^nations (2), (3), (4), etc., à lenr plu «Impie
expression*
1** Réduction des équations (2).
Pour le contact du 1*" ordre, on a les équations
fx = fa?,
f(x + AX)=f(x+Aa:), [
Ax=o. ;
La S'* de ces équations donne, par la formule de Taylor fx^PxàX'\- —-ff(x-^sàX) =. fa;+A*A^ +
En supprimant îx-im^x, puis en divisant par Ax, celte équa tion devient :
f^+ ^f"(«+*Ax)«/x+7^*"(* + VA«).
Mais puisqu'on a ax=0, il vient f'x-=f'x.
Les conditions (S) se réduisent par conséquent aux suivantes :
fx-,'x. ) ^^'
2* Réduction des équations (3).
Les conditions primitives du contact du 2^ ordre sont :
Aa; = 0, } (5)
f (x + 2Aa;) = y (x + 2 Ax) , 2ax=0;
qui p à cause de la réduction 1% peuvent être remplacées par les suivantes :
fx = yXy
f'x=/x, f(x4-2Ax) = ?{x-t-2Ax), 2ax=0, Développons les deux membres de la 3°''' équation ^ nous aurons :
Mais à cause de fxs=«:fx^ fx = /x> cette équation, après
l'avoir divisée par ^ J se réduit à ^ 1.2
Mais à cause de 2A«'='0 , celle-ci devient
Les conditions analytiques pour le contact du 2** ordre sont par conséquent
fx=s>x, X fxr^f'x, (3')
3* Réduction des éqcations (4).
Pour les conditions du contact du 3"* ordre, nous avons trouvé
f (X+ AX) = fX + f{x + àX),
Ax = 0, f(x-|-2Ax) = y(x-4-2Aa;), ) (*)
2Aa: =0, f(x + 3A«)=f(« + 3Ai),
3Aa: =0.
Ces équations, à cause des formules (3') , se réduisent à
{X=fx,
Mais on a, à la place de la 4'°' des équations précédentes, la suivante *
I r SA I » C^AxY ,„ (SA»)» , (ôAa:)*
^ïv (a? + S'/a ^^) •
Or, à cause de fx = yx, fx — /x, Pa: = T"x, celle équation se réduit a
P'x. ^^^ + i^^^ f.Vx+ 5e, A*) = 1.2.3 ^1.2.5.4 *^^ -^ ^
* T:2T+ 1.2.3.4 '^ ^*'+^''«A^''- Divisons par ^-. -^ puis posons 3Aac ■« , nous aurons
~ 350 - Donc les conditions du contact du 3"* ordre sont : tx = ^x , %
Donc, en généralisant , on trouve , pour les conditions du con* tact de l'ordre n— 1 , les n équations :
fx = tpX ,
rx=f'^x, ) (^')
Ce sont les équations définitives qui serviront à déterminer les n constantes de l'équation yr^^^Xy et par conséquente construire l'équation y^^^fn-ix de la courbe osculalrice de l'espèce y^=^fXé
Corollaire. Si n = 2, ou si la courbe y^=^x est une droite , la courbe osculatrice y^fiX, sera la tangente au point M(x9y) de la courbe y ■= f x .
Si n = 3, ou si la courbe y^=fx est un cercle, la courbe osculatrice, déterminée par les trois équations
fXc=s f X,
I x = f ac, sera le cercle osculateur de la courbe y^îx y au point M(a;,y). Le cercle osculateur est le même que le cercle de courbure.
Pour démontrer ces deux propositions , soit
V ^a=:ûx+6 ou yB=aa; + 6.
Déterminons a et 6 par la condition que le contact soit le plus élevé, ou du 1*' ordre. On a f'aî»= a. On a donc les équations
fx = ax -}-fr>
Soit M(ar', y") le point de la courbe y *= frfc que l'on considère on aura
y' ax' -f 6 , fa;' = a; d'où: 6=y'— fx.«'.
donc y «0x4*6 devient y— y'ssfx'C» — «*)»
ce qui esl Téquation de la tangente.
Soit 2*, (y— ^)* + (x— «)*-«r«, Féquation d'un cercle renfermant les constantes inconnues «, />, r, qu*il faut déterminer par la condition que le cercle soit osculateur au point M(x\y*) de la courbe donnée y => fx •
Si nous différentions deux fois on a les trois équations
dans lesquelles il faut Taire
fx,
dfx' = dx •
dx*
d«fx* ■ dx'* '
on en tire.
par réiimioation
^^ dx' '
dfx'
et ^= X — -
d'fxdx»
dx'
^=fx•+■
d«fx* dx*
dfx« i
/iTr't ^
Comme autre application de cette théorie , cherchons les équa* tions des paraboles des divers ordres, osculatrices au point M(x,y) d une courbe donnée y^=»tx.
Soit Péquation
y» = A + A^x^ 4- A,!?!* + AgXi* + ... 4- A»a?4" , qui est celle d'une parabole de Tordre n, on aura» pour n^lf^fZy etc., respectivement les équations
yi = A'^A^x^, (1)
y, = A+A,x4+AjX,«, (2)
2/s = A + Aix, + AjXi* + A5X4» , (3) etc. , qui sont celles de paraboles du l**, 2"% 3"% etc. ordre', et Ton voit, en même temps, que la parabole du l*"' ordre est une ligne droite.
Parabole Osculatrice du l*' ordre.
Comme la droite (I) passe par le point M(x,y) de la courbe , son équation sera
yl—y=:^A^{x^—x)
Comme le contact est du !•' ordre, on a --^ a —- , donc
dx^ dx
réquation de la parabole osculatrice du 1*" ordre, est
c'est réquation de la tangente au point M(x,^) de la courbe y=fx.
Parabole Osculatrice du ^ ordre.
Diffërentions deux fois Féquation
on aura -^ = A4 + 2 AjXj ,
