RÈGLE FONDAMENTALE

Pour trouver la dérivée d'une fonction

y = f X , il faut

1® Changer x en x + dx, retrancher de la f onction variée f(x4-dx) la fonction primitive fx, et

2° Supprimer tous les termes du quotient qui ont dx pour facteur.

Démonst. Car on a

Coroll. ^. Comme on a dfx = fx.dx, il est clair que Ion pourra poser également ^x*dx=d\ljx , et Ion aura par conséquent fa: + d'^x = rx.

Coroll. 2. Comme on a

dy =f (x + efx) — fx = Pxrfx -|- §X(/x>=f'xrfx , l'on voit que la différentielle d'une fonction s'obtient en diongcant

— iù —

X en x+dx, en retranchant de la fonction variée , la fonction primitive, etf en svpprimant dans le résultat les termes qui ont d\* pour facteur.

Gomme on peut poser ^x*dx=:d\l^x^ il est clair que Ton pourra écrire {^x*dx)dx = d{d}^x) = èi^^x ;

OD aura alprs, par l'équation ci-dessus

Vxdx'{-^x*dx''^=Pxdx , la suivante: dfa: + cf»;//x = df«.

CorolL 3. La différentielle d'une fonction s'obtient encore en multipliant sa dérivée par dx. Car on a :

dy=Px*dx ou d(xssfx*dx.

CorolL 4. De l'équation rfy=f(a? + d«) — îx^dfx, on tire encore : f (x -j- dx) = f a? -}- d îx ;

c'est-à-dire 5 la fonction variée est toujours égale à la fonction primitive y plus la différentielle de celle-ci.

Lemmb. n étant un nombre entier et positif, je dis que Von aura :

Démonst. Soit a >5 , on a :

- =a»+an-lô + ...4.ain-i + ô»<(« + l)a*,

d'où: [«-(n + l)(a--5)]û»<5«+i. (i)

1® Soient a=l-f — , ôrsl-j--— ^ la condition a>b sera remplie, etTéquation (1) donnera :

Pour n = l,2,3,... on trowe

2® Soient a= - — , ô = l, n=imf la condition a>b sera remplie, et Vé-

quation (1) donnera

On a donc aussi, par (2), (I + — )"»a-l<4. (4)

2m — 1 Les formules (3) et (4) donnent par conséquent

CoroU, Ces formules font voir que l'expression (1 -| )* , toujours comprise

entre 2 et 4 , croît avec n , et doit approcher indi^finiment d'une constante qui répond à n = i

Nous désignerons par e cette constante, et nous tLouvorous plus tard qu'elle

a pour valeur e = l+l+-~ +^ + etc. = 2,7182818... ; c'est la bas»

des logarithmes nëpdriens. On peut donc poser (1 -|- — )° ^ e + — «P.

3^ Théorème.

En désignant par e la base des logarithmes népériens ou fa

constante l + l+--^4- J 4. ... == 2,7182818... , ■ 1-2 1-2.3

je dis que l'on aura 1 + dy = e*^^ , 1 4- fzi\\ == (1+ dy)^,

fi étant un nombre queUonqtw fini.

Démons. Sioît — «» Aj^; on a, par le corollaire du^lemme pr^c^dent ' n

Mais %uaiid nsee^ , on a ^~s» dy ^ donc la ibrinufe précédente devient:

donc e^^i' =a t + rfy , donc c*^ = 1 + rfar.

On a 9 en posant dy == (Ados :

ef^^=l^fidx; mais e^'^= (1 + c/x)'*, dotic (l+dx>»=»l-hAtrfar; donc (l + dyy'= I + A*c/y. Coro//. Soit A« = 6log.a, a=c*®8a^ on aura

e^^s^'^ = l^ bhçx; a.dx , ou a*^ = 1+& logf/.rfx/, pour 6=1 , on a r a*" = f + log a»dx.

k* TnÉonÈME. •Te dit que Von a sin dx = dx , cos dx = f , tg dx =^ dx , cotg ûx ^ j ,.

së&dx «3 1 ) cosë dx = i .

Démonat. Car on a :

ftin c2« sa sin = as- i2x , cos c2a; «» cos 0=1, tgcfoj«»tgOeaO=«daj, cotg/to=cotO = i, sëc dx ^ sëc =» 1 , coséc dx b« cosë =: ^ .

5* Théor. y désignant une quantité /inie, je din que /Vn a :

e^*^^""* = cos y + V — 1 sin y.

Démonst. On a par la form. du S"" théorème :

eî'*"^^*^ 1 +K^ . t/(/a; = ç[cosy + |/^ sin ? ].

$=J/ jl+s'dx*} =»1 , cosy=«l, siiif = yrfjc ,

tgf— j-; dou f = srfx, ^^^=-!/.

Mais on a : .

e»*^-* « (1 + V/— 1 ydx) dx^^dx |-<;os ^ -|-|/l gin ^]^ ,