PAM

Mais on a :

cos fi ds di/

cos a doc^ dx' '

dz^ cos 7 ds dz'

cos a dx' dx' '

donc les équations de la tangente demandée sont :

Ces équations font voir que les projections de la tangente , sont tangentes aux projections de la courbe.

Angle de contingence.

Si nous menons des tangentes à deux points M(x,y,5:) W(x +• ax, y 4-^2/? ^4"^^) d'une courbe, l'angle a« compris par ces tangentes y pourra être considéré comme une fonction de x, et alors la

valeur du rapport — , correspondante à Ax^dx^sO, sera la

Aâ?

dérivée de Tangle de contingence

« . d« Soit — = dx

don Bs ipx«dx.

Soit — = î^x , cette dérivée , Yangle de contingence sera

Analyse .

Soient «, ^3, y les angles que la tangente en M, et ^,i3',/ les angles que la tangente en M' forment respectivement avec les axes des x^y^z, soient de plus

dx ^ ^ dy dz

a ■=» cos a = -— , 6 = cos B=a --. , c =a cos y « — . ds ds ds

a' « cos a' b' ■=. cos fi* c' a» cos y'.

~ 363 — Cela posé^ on aura

cos A« =3 cos « cos a* + cos i3 cos P>' + cos y cos y'.

Mais A, 0,7 étant des fonctions de x^ it est clair que quand x devient x-j-Ax, c'est-à-dire quand la tangente en M devient la tangente en M', les angles «,i3,y deviennent a-f-àa, jS+a/S, y+Av/ on a donc

^=«+A«, i3' = /3+A^, / = 7 + Ay, et par conséquent

eos«' — B cos [a 4- A«) »* cos « + A cos« = a -J- A« "= ^' ? cos /3' = cos (/34-AiS) — cos/3 + A cos/3 = 6 + A* «= 6' > cos / = cos ( y + A^ ) =" cosy + A cos y = c + Ac = c'.

Mais on a :

d'où

(a« + 6« + c«)— (a'« 4- 6'« +c'«) =» 0, ou

aAa + 6A6 + cAc= K(Aa)«+ (A6)* + {Ac)*].

On a donc aussi :

C08A®'='a(a+Aa) + 6(6 + A6) + c(c+Ac) «-a' + 6'4-c» + aAa+6A6 + cAc

-l-H(Aa)* + (A6)' + (Ac)*].

Mais à cause de cos A « = 1 — , ^ + /V^^, . — etc., on peut écrire

d'où Ton tire

et aussi

X A» . -, -^^ , Afl V , >- a6 ^ .AC.

m» • 1 /v . . Aa a6 CA

Mais quand Aa? = 0«dx, les rapports — , — , — , se