A X A X AX

changent respectÎTement en ^— , -j— , -7- ; de plus à» deWent

dx iMX ax

dfê, Hle rapport — « devient ^; de sorte q[oe Féquation précédente se changera en celle-ci t

Mais en differentiant les équations

dx dy 'dz

rff ds <b

sans considérer aucune des lettres x, y, z, s comme yariables indépendantes^ on aura les expressions

da dx do dx dx

dx d? ' dx ^ 5? '

dc dx dx

on a donc dcû

..vi(^4^)V(=i;=*);

ds «b,

dg dx

= -^ y/ 1 (d*a:d» — d»»<fa)2+(dy»<fo — dPsdyf +

(dPzds — tPsdxf \.

Si nous développons les carrés, et en faisant attention que Féquation

d»* = da:î-|.d^ + dz».

donne y par la différentiation

dsd^s =5 dxcflx -{- dy<Py -{- dzcPz, on trouve :

d«c= J- J/ j (d^xy + ((Py7+ [d'zy ^ (d^sy | , (a)

[ dx(Px + dycPy + dzd^z ]* ( , ^j/ j (dyd^z — dzd^yy + (dzd?x — dxâ^zf +

{dxd^y — dyd?xy\.

Cette expression définitive de Tangle de contingence, est tout-àfait générale, c'est-à-dire, elle a lieu sans acception de variable indépendante. Elle se simplifiera quand on prend x pour variable indépendante, ce qui a lieu lorsque la courbe est donnée par deux équations de la forme

y = 4^(x), z^fx.

dx En effet comme la dérivée de x est alors -7— = 1 , on aura

dx

— es , d'où d^x « 0. Donc l'expression ci-dessus ,

quand x est la variable indépendante, se change en celle-ci : d«= ~\/ {(dyd^z — dzd^y+{dxdh) + {dxd^yY\.

Rayon et Cercle de courbure.

Soit s Tangle des normales aux tangentes en M et M' du § précédent , on aura

car les deux angles s, Aco ont leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun.

Soit le point de rencontre des deux normales, décrivons de ce

point, avec la longueur R = OM, un arc de cercle compris enlre les deux normales, et soit as^ la longueur de cet arc, on aura la proportion :

l:f::R:As', ou