COS X

dx dx '

= cosy + K — I sinj/.

En changeant y en — y, on a :

e ^ =cos^ — V^— Isinj/.

Coroll. 1. De ces deux formules on déduit, par addition et soustraction

'""y- ïiTTî — ' ""'^^^ -2 •

Coroll. 2. On en tire encore par la division :

22/»/^ cos y-\-\/ — 1 sin 2/ 1 + ^—^ ^^y

cosy — |/ — Isinj/ 1 — l/ — 1 tgy d'où , en prenant les logarithmes népériens :

y = =: log — .

21/ —1 l|/iigj,

Coro//. 3. On a :

e'^-^^^^^e^Ccosy + l/IIl sint/) , d'où :

log[e*(cosy4-'^ — * sinj/)] = x+J/V^—l •

Soit e''=^r et a+6K — 1 = ^(cos y-^-l^ — 1 sin y), on aura :

r==(a'+6'), 2/=arotg— .

Cela posé, la formule ci-dessus donnera :

log(a + 6l''^) = ^log(a^-f6«) + >^^.arctg-^.

Nous avons divisé cet ouvrage en deux parties; la 1" se rapporte à la théorie, la 2'^*' aux applications du calcul différentiel. Dans la I^ partie on s'occupe de la formation , de la transformation et de la comparaison des dérivées des diverses sortes de fonctions.

jRewî. générale. Il est important de faire observer que la formule

(lu 2* Tliéor. renferme virluellement tout le Calcul différentiel , et le Calcul intégral; c'est, je crois, pour la première fois qu'on assigne à ces calculs une base unique , et qu'on s'est élevé à cette haute synthèse (*).

{*) La Iiaute importance du 1^' Thëor. nous engage à le dëmontrer de nouveau , dans cette note , par dos considérations gëomëtriques.

Soit 2/= fa? Taire d'une courbe y' = ya?, alors f (oî + Aa;) — f a? , exprimera Taire comprise entre les ordonndes extrêmes f{x+àx), et fx. Soit a;<X|< x-^-àXj il existera une ordonnée f aîi telle que le rectangle

fXi*àaf'

Soit équivalent à Taire f(aî+Aa;)— fx. Mais en prenant

0<«<1, et Xif=»x+otAXf

la condition x<x-\-ec àx<^x+ ^x sera remplie, et Ton pourra poser

Ay = f(aî+ Aa?) — fic «= ç>(a; -f- « A.n) . A;r ;

Donc, etc.

r- PARTIE.