A6} AX
Faisons maintenant Ax=dx
? «a , on aura
ds dx
ds
~ dco '
dx
ds'
y {[dyd'z— dzd^yf+idzd^x — dxd'zy+(dxd^jf—dytPxy\ '
Dans cette équation on a
on peut donc écrire :
^dx dx^ dx * da?« ^ ' ^ dâc ' 50? .dxd^^ ^Ihc da^ dx d: Celle valeur du g est générale en ce sens qu'on n'y a considéré aucune des lettres x^y^z comme variable indépendante. Dans le cas où X serait la variable indépendante^ il faudrait poser
-VT =0, et alors on aurait :
dx*
y l^dx'^ ^^dx*^ ^^ dx dx^ dx das'M
Le cercle qui a ç pour rayon est le cercle de courbure.
.,ds . d(-^)-0,
Remarque. Si $ est la variable indépendante, on a — -r—
CiiS
ou d's = Oy donc la formule (a) du paragraphe précédent se réduit à :
y^\(d'xy+(d'yy+(d'zr\ .
,, , ^ ds ds*
" *=^ rf^" = '(/ I (d'xY + Cd'yy + (d'zy \
Plan osgulateur.
Pour obtenir des formules plus générales, et plus symétriques nous supposerons que les coordonnées x,y,z soient des fonc-
lions d'une même variable indépendante v. Donc si v devient v+ ^v f x,y,z deviendront
Si l'on change de nouveau dans ces résultats t? en v + àV , alors Xg^yi^Zg deviendront respectivement
x«+a?iA = x,, yi+Ayi = y,, z^+^z^^Zt.
Mais si l'on a une équation de la forme F = F.(x,y,z)«0, on aura , en changeant v en v + av,
F4-AF = F(x.,y„z,) = 0; équation qui ^ à cause de F = ^ se réduit à AF = AF(x,y,5r) — 0.
Si l'on change de nouveau v en v-^-dv, alors F devenant F + aF, a F deviendra aF + aaF ou aF + a'F,on a donc l'équation
AF + A'F = F(r,,y,,2r,) = 0, qui à cause de a F = , devient
Gela posé, soit
F=:A(x— x')+B(y— y') + C(z — z') = 0, équation dans laquelle x', y' ^ js;' sont supposés être des fonctions de t?^ il est clair que si t? se change en v-^A^Vy et en t7-|-2Av> les valeurs de F = 0, correspondantes à ces variations , seront:
AF = AAa;' + BAy'-HCAJ8:'=0, A«F =- A aV + B aV + C aV = 0.
Si Ton prend sur une courbe donnée trois points
M(x,î/',z), M'(x^»^z'0, W(x-,y-,zn situés de manière que les coordonnées de chacun se déduisent de celles du point qui le précède, en changeant v en v-^A^v, ces trois points détermineront un plan, tel que les constantes A, B, G de son équation varieront à mesure que \v diminuera et prendront des valeurs déterminées a,b,Cy quand At? deviendra dv , c'est-à-dire zéro , ce qui aura lieu , quand les points BT et M" viendront à coïncider avec le point M(x',y',j?'). Ce plan.
dont l'équation est de la forme
se nomme le plan osculateur de la courbe donnée, au point donné M(x\y\z*).
Analyse.
Gomme le plan passe par le point M son équation sera de la forme
Mais en changeant v en r + a r , les coordonnées x\ y\ i deviennent f£\ y'\ £' , donc Téquation
A(x-a;") + B(y-y") +C(z-O = exprime que le même plan passe aussi par le point M', condition qui, par ce qui précède, se réduit à
aF — AAx'+BAy'-l-CAz'=3 0.
Si nous changeons de nouveau v en v-j-At;, ce qui revient à changer v en v + Sav dans les coordonnées x\y\z' du plan F = 0, on exprimera que ce plan passe aussi par le point M**, cette condition sera exprimée par Téquation
A(x-O + B(y-n + C(z-Ô = 0, qui, en vertu de ce qui précède, se réduit à
a'F = Aa'x'+BaV + CaV=0.
Mais comme x\ y\ z' sont des fonctions de v, nous avons, par le Théorème de Taylor :
Ax dx' , „ Ay' dy' , ^ „ àz' dz' AV dy Av dv àv dv
aV d^x' , ^ aV d^y' ^ ^ aV cPz' .
Av^ dv^ âkV^ dv^ ^* AV^ dtr
