AV A^V

c(+A«.po-o.

Mais en faisant àv = ^ A^ B, G deviennent a, b, c, et l'on aura^ pour déterminer ces inconnues ^ les équations

dv ^ do ^ dv

dv^ ^ df? dv^ '

qui deviennent y en chassant les dénominateurs^ aefx' + 6rfy'+crfz' = 0, a(Pa;'4-6dY4-c(Pz' = 0.

De ces équations on tire^ par l'élimination,

a dyâ^z' — dz'^d^y' b dz\d^x' ^dx'd^z' c ~ dx'd^y' — dy'(Px' ' c ~ dx(Py—dy\dhc' ' En substituant ces valeurs dans l'équation

a(x—x') + biy—y')^c{z—z')^0, mise sous la forme

on aura l'équation du plan osculateur cherchée , savoir :

,^ dy'd^z—dzd^y' ^^ d^d^£ — d£££ ^""""^ ^ dx'd'y-dy'dx'' + ^^ ^ ^ dxd'y' ^ dy'd'x' +

(5r-z')=:0, ou (dyd'j2' — dz'dy ) (x— X ) + (dz'd'x — dx d»z') (y— y") +

(iz— z') (dx'd'y' — d</'d»x') a(x-x) + 6(y— yO + c(ij-^z') = 0, a==dy'd'z' — dz'd'y\ b = dz'd^x'—dxd'z\ c = dx' d'y' — dy' d'x\

Corollaire. Soient A, ^, i^ les angles que la perpendiculaire en M(x,y\ z) au plan osculateur fait avec les 3 axes des x^jf^ j;, les équations de cette perpendiculaire seront ;

, C0S/C6 , ,. , cosv ,

Les traces du plan oseulateur sur tes plans des yx et zx, seront

La droite (1) étant perpendiculaire i la droite (l')^ et la projection (2) perpendiculaire à la trace correspondante (2')^ on a Les relations

COS jC6 6 cos V c

cos A a * cos A a

On en tire :

cos donc

C 6" . c» ) •A + cos> + cos'y = 1 = cos'A < 1 H r + — | ;

cos A «a , cos /« =

cos y =

Si nous posons

on a

cosA==»-jr-' cosA4=— , cosv = -j^.

Remarque. Quand on fait v=x\ x' devient la variable indé-

dx* rfx' dx'

pendante y et l'on aura — =»— 7==1, donc

1^—0; d'où ?^ = 0, donc d'x'=0.

cte dx*

dx'

Les valeurs ci-dessus de a^b^c deviennent :

a «. dt/'dV — dzd^y\ 6 = — dxd^z, c=^dxd^y\

Angle de torsion.

Prenons sur une courbe de Fespace deux points MÇoc^y^z) et M'(a/^y';Z')i situés de manière que Ton obtienne les coordonnées du second en changeant dans celles du l"*' t? en v^av.

Soit AQ Tangle que font entre eux les plans osculateurs aux points M et M' de la courbe; cela posé, on nomme angle de tor- «ton ce que devient aq, pour av = 0.

Analyse. Désignons par A,/w,i; les angles que la perpendiculaire en M au plan osculateur de ce point fait avec les axes de ^fVf^f on aura

cosA=--.=o', cos^ = y-B=6% cosy=— = c'.

Soient A', /et', J les angles que la perpendiculaire au point M' du 2^ plan osculateur fait avec les axes des x\ y^, z\ alors en changeant V en t?-f-At?, les angles A,/t6,i; deviendront les angles A', /cfi', v\ et l'on aura par conséquent

cosA' = a' + Aa', cos/cfc's=i/ + A6', cosi/' = c'-{-Ac'.

Cela posé, comme l'angle a a est égal à l'angle des deux perpendiculaires aux plans osculateurs, il est manifeste que l'angle de torsion , sera égal à l'angle de contingence de ces deux perpendiculaire. On a donc, par le § S4, pour l'expression de langle de torsion

dtk = V {dclf 4- {dtif + (cfc'f .

Mais on a :

^ , Ua — adk ^^, kdb ^ bdk , , kdc — cdk da' = Tz , db' = , de =

ada 4' bdb + cdc

(/A — dV^a*4-6«-f c*

kdk = ada -[- bdb + cdc ,

A:« = a»4-6* + c2. donc

dû = — »/ ( fcrfa — ac/A)» + [kdb — bdk)^ + [kdc — cdkf

= * |/ [k\da^ 4- di2+dc2)— ndk (ado+6d6+ cdc)\ Ifdk* j

= ^J/ {(a^ + b^+d')(da^ + db^+d(^) — [ada+bdb+cdc)A

dû = ^|/ {{bda—adb'f+{cda—adc)^'\^ {bdc—cdb^l.

Mais on a :

a = dyd^z — dzd^y ^ da=^dyd^z — dzd^y, b'^dzd^x — dxd'z, db=dzd*x — dxd^z, Cr=sdxd'y — dyd^Xy dc = dxd^y — dyd^z.

Donc, en posant

U = (d'y d»z — d^zd^y)dx-\- {dHd^x — d^xd'z]dy +

(d*x d'y — d*y d^x) dz , on trouve :

adb — 6da = dz»U, bdc — ad6=dac«U, cda-- adc^^dy^V;

on a donc :

dû= 'j^)/{v\dx'+dy^ + dz')\

( J'y d»z — d^jg d^y ) dx + (d«jg d»x — d»x d'z ) dy

~ ** (dyd'z — dzd^yy+(dzd*x — da;d*z}*