d*x d^y — d*yd^x)dz + {dx(Py — dyd^xf
Rem. Quand x est la variable indépendante, on a d*x=0, d'à; ssO; et alors l'expression précédente se réduit à :
. ( d'y d'jj — d»z df^y ) dx ^^ * {dyd^z — dz dhjj^ + (dx d^s j^ + (ctea^y/ *
Plan normal aux Courbes de l'Espace.
Si l'on conçoit une tangente à la courbe au point M(ac',y',j3'), et au même point un plan perpendiculaire à celte tangente , ce plan sera le plan normal à la courbe au point M .
Analyse. Tout plan passant par le point M(a/,y';Z') de la
courbe a pour équation
A(x-x') + B(y — yO + c(z — zO = 0. (1)
Quand ce plan est normal , ses traces sur les plans des xy et xz , seront respectivement perpendiculaires aux projections de la tangente sur les mêmes plans. Les traces dont il s'agit sont respectivement :
les projections de la tangente sont :
Les conditions de la perpendicularité donnent :
B da' On tire de ces équations
Ep substituant ces valeurs dans Féqtiation (t) ^ on trouve :
OU (x — a') dx' + ( y — y')dî^' + (is — z^dz' — . C'est l'équation cherchée du plan normal à la courbe donnée, au point M(x',t/', z').
Rem. Toute droite passant par M et située dans le plan normal, sera une normale à la courbe. De même, tout plan passant par la tangente en M , sera un plan tangent à la courbe.
Équation de là Sectrige.
Soient deux plans normaux à la courbe , le 1"^ au point ^(P^%y\^lf et le 2^ au point M'(x'',y", jz'7; le point M* est pris de telle sorte que ses coordonnées se déduisent des coordonnées du
point M, en changeant dans celles-ci, qu'on suppose, comme toujours, être des fonctions de w, t? en t?-|-At;. Les deux plans normaux se couperont en général suivant une droite p dont les constantes changeront de valeur à mesure que \^v diminue. Soient
les équations de celte droite d'intersection, si Ton désigne par
A', B% C, D' ce que deviennent les quatre constantes A , B , C , D ,
quand on pose Av=idvt=sOy les équations
seront celles d'une droite idéale , qui , à cause du fréquent usage qu'on en fait, mérite un nom particulier; je la nommerai Sectrice.
Analyse. Le plan normal en M(a;', y, z') donne Le plan normal en M\x'\ y'\ z') donne de même
Mais quand v devient v-^ nv le point M devient le point M*, on a donc
F'«=F + aF«-0,
équation qui, à cause de F a , se réduit à
Mais on a, par le Théorème de Taylor
= -r HA^'P; donc
ï- Af .P = 0.
dv *
Pour At* = 0, on a :
Donc les équaUoDs de la Sectrice sont données par Texistence simultanée des deui plans (1) et (2).
En éliminant z — z\ y — y* suecessivement entre ces équations ^ on trouve, en supprimant les dénominateurs dv,dv*,
y-fj' = -^(x-x-)-^ds''Jz\
z — s' — - (x—x') + - . d»'*dy' ; o ^ o
on a |K)sé comme toujours
a=d!/d*z' — dz'd*i/ ,
b=>dz'd'j^ — dx'd*z' ,
c = dxfd*y' — d]fd}if,
dtf*=dxf* + dy'* + dz'*.
Rem. Si l'on nomme «, w, t les angles que cette droite forme avec Taxe des x, des y et des z, on trouve, par les principes connus de la Géométrie analytique
COStt = — , COS 10 =
cosf =
D'où Ton conclut m» A, w^fi, t = v; (§56), par conséquent la Sectrice est perpendiculaire au plan osculateur en M.
COORDO.^ÎIÉES DU POINT d'iïITERSECTIO.^ DE LA SeCTRICE ET DU PLA5
Osculateur au point M(x',y',z').
Les coordonnées de ce point d'intersection sont évidemment les valeurs de x de y et de z, tirées des équations
z-z' = ^(x-af)+l^d.^Uly'^
a(x-x^) + b(y — y') + c(z-z')^0, considérées comme ayant lieu simultanément.
L'élimination conduit à :
, bdz' — cdj/ ,,
crfac' — acfe' . ,.
Cercle Osculateur.
Considérons deux points U{x\y\z') M'(x",y",js") d'une courbe, le second s'obtenant en changeant dans les coordonnées du 1" V en t7 + Au, il est clair que, d'après le g 80, le cercle osculateur de chacun de ces points sera situé dans les plans osculaleurs relatifs à ces points. De plus, le centre de chacun sera situé dans le plan passant par ce point normalement au pian osculateur correspondant. Mais en faisant At7»0, les deux points venant à coïncider , il en sera de même des deux plans osculateurs , et le centre du cercle osculateur en M se trouvera à la fois dans les deux plans normaux, c'est-à«dire sur la Sectrice. II suit de là, que le centre du cercle osculateur en M sera le point d'intersection de la Sectrice et du plan osculateur. Le rayon du cercle osculateur au point M sera par conséquent la distance entre ce point dlntersection et le point M.
Analyse. Soient r le rayon du cercle osculateur, x,y,z les coordonnées de son centre , données par le § 60 , on aura , pour calculer r, la relation
r« = (x-aD')» + (y — 2/T + (^— «')"• En substituant à la place de x — ac', y — y\ z — z' leurs valeurs du paragraphe précédent , on obtient
(bdz^— cdy'Y + (cd'j! — adjz')' + («^J/' — bdaf )
r^ = ds'**
Mais on a
bdz' - cdy' = dz'* d'x' — dz'd^d^J — dy'dx^d^'t/ -f rfj/'«rfV ; ajoutons el retranchons rfx'*cf«ac', nous aurons
bdz— cdj/ »= cfy»dV — dx^*ds*dH\ On trouvera de même :
cdx' — adz^ =:^ds'*d*y'—dy^ds'd*s' , adif—bdx' = dif^d^z^—dz'd&^d^sy ; en élevant au carré, et en ajoutant , on trouve : {bdz^—cdyfy + {cdaf^ adz^ )' + (a^y' —bdxy =
ds'*[(d^x')^ + (d'yy + (d'z')» — dV)«].
Mais on trouve aussi facilement
a-J^b* + c^ = ds''[{d^xy +(dy)« + (dV)' — (dV)»]; (1)
on a donc
ds'
1/ (d'xy + (d^yy 4- {d^zy — {dny
Mais on tire de la formule (1) ,
(d«x )« + d^yy + (d^zy - (d'sy « '''"*"^^1"^'^ =
(dy^d'j^ ~ dzd^yy 4- (d^^d'a:^— dx'd'zQ' + (dx'd^y'—dy'd^xy
ds'^ '
on a donc aussi
y j(dj/'d«z'— dz'd»î/')«+ (dz'd^x'— dx'd^zy + (dx'd'y^ dj/d'x') j ' d'où r = ç; (§53)
donc le rayon du cercle osculateur est le même que celui du rayon de courbure.
Rem. ^'^ Soient j/, e, Ç les angles que le rayon r fait avec les trois axeS; on aura :
X — X = rcosy, y —2/'= rcose, z — 2**= rcosÇ. De plus r est perpendiculaire à la Sectrice , on a donc cos M cos jy -J- cos u; cos e -}- cos ^ cos Ç = , a X — X , 6 y — t/' c z — z' k r ^ k r k r '
d'où a(x— x') + b(y—y') + c{z — jz') « 0,
ce qui est Téquation du plan osculateur.
Rem. 2'^''. A mesure que A ^ dirninue le cercle qui passe par trois points M , M\ M'' différera de moins en moins de la courbe dans le voisinage de M; donc, si av^^O, la courbure du cercle osculateur ne différera plus de celle de la courbe au point
M , donc — peut être considérée comme la mesure de cette
courbure; elle sera d'autant moindre que r sera plus grand , et vke-versâ .
Surface polaire.
On nomme Surface polaire le lieu des Sectrices correspondant aux divers points d'une courbe de l'espace.
Analyse. Soient y=yx, z=;pac les équations de la courbe, en éliminant x\y\z entre y'=fx\ ypx\ et les équations de la Seclrice, on aura une relation entre x^y^z, qui sera l'équation de la Surface cherchée,
Sphère osculatrice.
En considérant sur une courbe quatre points M(x\y\z')^ MXx",2/^z"), M"(x"',2/'",0. W\o(r,y'\z^), situés de manière que les coordonnées de chacun s'obtiennent en changeant dans celles du point qui le précède v en v-^-av, ces quatre points détermineront une sphère dont l'équation
{x-AY^(y-BY + {z-cf^K\ (1)
renfermera quatre constantes A,B,G,R. Ces constantes varient à mesure que av diminue, c'est-à-dire à mesure que les points M', M", M"' s'approchent de M. Soient A = a, B = /3, C=y, R = ^, les valeurs de ces constantes correspondantes à av = 0', c'est-à-dire celles qu'elles obtiennent quand les quatre points se réunissent en M ; la Sphère qui a pour équation
se nomme b Sphère oscolatriee de la coorbe au point M.
Le œnlre de la Sphère (1) est le point de eoncoors des trois droites qui résultent : 1* de Fintersectien des plans normaox en M et M* ; 2* de edles des plans normaux en If et M^ ; 5* enfin de llntersection des plans normaux en SP et IT". Mais eomme œs trois droites doivent eoneoorir au même point, il est clair que le centre y dont il s'agit, s^obtiendra par les deox premières de ces droites dlntersectîon.
Ahaltse. Soit
F = (x— xlrfx + (y- yyy + {z—z')dz'=0 (I
le plan normal en M.
Celui en M* sera F+ aF = F=0, et se réduit à :
aF = A { (X— z)dx + {y—y)dy' + (- -2')(fc' } = 0. (2 Le plan normal au point MT aura pour équation F + aF = F+2aF + A'F = 0, qui se réduit à
a'F = A> { {x—x)dx' + {y—yW + (z —z)d£ j =. 0. (3
Les trois équations F = 0, aF = 0, a'F=:0, considérées comme simultanées , détermineront le centre de la Sphère du rayon R. Mais pour Af =0, hypothèse pour laquelle les quatre points se réunissent en M, les équations ci-dessus se changeront en celles-ci :
F - (X— x')dx' + iy—yyy' + {z—z')dz' = ,
rfF= (x— xV'a' + (y— î^dV + (z— 5^^'— d«'*=0 ,
d»F = {x— x^x + (y— y)'dV + (s— z')d'z' — 3cb'd«y = 0; de ces équations , on tire les coordonnées du centre de la Sphère oscolatriee, en les résolvant par rapport à x, y et z. L'équation (2) fera connaître le rayon de la même sphère.
