APPLICATIONS DU CALCUL DIFFÉRENTIEL AUX SURFACES
Plan tangent.
Problême. Étant donnée une surface F(x,y, z)=0 ou z=f(x,y), et un point M'(x', y*,z') de cette surface, chercher le lieu de toutes les tangentes à la surface au point M\
Solution. Les équations de la tangente au point M' d'une courbe quelconque ; tracée sur la surface , sont :
-,«. * dz .
Pour le point M' l'équation iî = f(x,y) de la surface devient : z' = f(x',y').
Cette équation donne, par la différentiation,
d'où: j-!;=(^) + (#;)|C. (3
dx ^ dx^ ^ ^ dy ^ dx ^
Des équations (1 et (2 on tire
dy y— y ^ ^— g' dx' ~ X— x' ' dx ""i^Hv*
En éliminant --p; , — - valeurs qui fixent la position de la
tangente, le résultat , indépendant de cette position ^ sera évidemment le lieu cherché. Or Télimination donne
^— ^' .dz' dz y — y'
X — x' dx dy' X — x
ou (^)(*-*') + (^)(y--y')-{z-Je')«0; (4)
c'est réquation d'un plan ; le lieu de toutes les tangentes est un plan tangent à la surface au point M'. Donc (4) est l'équation du plan tangent.
Rem. Si l'équation de la surface avait la forme implicite F(x,y,5:) — 0, on trouverait, pour les deux dérivées partielles :
fdz '^ dx ^ dz' __ ^ dy' ^
^ dz' ^ ^ dz ^
par suite , l'équation du plan tangent devient :
Exemple. Pour l'ellipspïde — ;- + ^j- + — . = 1 , on trouva
Donc le plan tangent au point M'(a5',î/', /) de cette surface, a pour équation
xx' yy' zz ou ~+ Tî""^ "ï^^-
SuaPACBS DE CONTACT, ET OSCULATIIICES.
Soient les deux surfaces z=f(x,î/), zsmf{x,y), ayant le point M(x,j/,z) commun, on aura, par le Théorème de Taylor :
fix+h,y-\-k) — <p{x-^ h,y+k) = î(x,y) — f[x,y) -jr.
On dit que la surface z=ay(x,2/) a avec la surface z=^î(x^y) un contact du 1" ordre quand on a les trois équations
Le contact sera du 2** ordre, quand, outre les équations précédentes , on a les relations
Donc, pour qu'une Surface ^=fn(^,î/), soit osculatrice au point M(x,j/, jj) de la Surface ^=f{x,j/), il faut que son contact de Tordre le plus élevé, fournisse autant d'équations que la Surface f„ renferme de constantes à déterminer. Cette condition ne peut pas toujours être remplie. Pour la Sphère, par exemple, dont l'équation
renferme quatre constantes, le contact du 1" ordre ne fournit que trois équations, tandis que celui du S** ordre en fournit six, en sorte que les quatre constantes ne peuvent être déterminées ni par l'un, ni par l'autre de ces systèmes d'équations; il n'existe donc pas
de Sphère oseulatriee. Il n'en sera pas de même des Surfaces dont l'équation générale est
Zn = a + bXi +cyt+dx*+exiy^ + ... + que nous nommerons paraboloïdes.
Des Paraboloïdes osealatears.
l"" PaRABOLOÏDE OSCULATEUR du 1" ORDRE.
Le paraboloïde du 1*' ordre a pour équation
z^ = a + bx^ + cy, == y^ (x^y,) , (1)
c'est un plan. Gomme cette Surface renferme trois constantes , elle sera 'oseulatriee, lorsqu'on déterminera ces constantes en établissant un contact du 1*' ordre avec la Surface zs=af(x,y); à l'aide des trois équations :
y(x4j/4) = f(x,î/) ou Zi = jj donc x^^x^y^^y ;
Mais on a
donc (^)=*' (^) = '''
, dz , dz
En substituant ces valeurs dans l'équation (1), on trouve :
Donc le paraboloïde osculateur du 1" ordre en U(x,y,z) de la Surface z = f(x,y), est son plan tangent en ce point.
2*^ Paraboloïde osculateur du second ordre.
Le paraboloïde du 2* ordre a pour équation Zt = a + bXi + cyi + dXi^ + ex, y^ + fî/i' = ftiXiy^). (2)
Les six constantes a^bf...fy se détermineront au moyen des équations, au nombre de six , exigées pour un contact du 2"^ ordre , savoir :
On a ainsi les six équations
et par conséquent :
, , d»jz . y d'z . , . d»jz .
dz d'z . d'z
f-lf — ^
En substituant ces valeurs dans l'équation (2);0n obtient Téqua* tion du paraboloîde osculateur du 2^ ordre , savoir :
[(|'-(^)«-iè)'h +
Cette équation peut se mettre sous la forme plus élégante :
dPz (■^)(y.-9)']. (3')
Classlieation des Parabololdes oscvlateors da 1^^ ordre.
Changeons la position de l'axe des x et des j^ ^ de manière que le nouvel axe des Xj fasse avec Fancien un angle e, c'est-à-dire posons
X| = x' cos e — j'sin e ,
y I «s x' sin e + î/ cos e ,
l'équation (3) deviendra :
z, = a + [6eos0 + csine]x'+ [ccose — 6sine]y' + [dcos'e + ecose sîn e + /*sin*6]x'' -j- [ 2/'sin e cos ô + « ( cos*» — sin^e ) — 2d cos 8 sin e ] x'y' -{- [ d sin^e — e sin e cos o + fco^h ] y'^. (4)
Pour faire disparaître le terme en x"y\ il faut déterminer e par la relation
2/" sin e cos 6 + e (cos^e — sin^e ) — 2d cos 6 sin a =» , ou /"-sin 2 8 + ecos 2 e — d sin 2 d «: ; ce qui donne
Comme on a :
tff2e 1
sin2e = ^ ■ , cos2o =
on trouve facilement
sin 2 6 == ^ - j cos2o= ~
sm
g \/ l— cos2e
2 v/2j(rf-/)i/e^+(d-0«+e*+(d-/r}'
