COS

;e = \/ ^+côs^

2 - |/2|eH{rf-n^-(d-r;l^eH(rf-/')'l Par là l'équation (4) deviendra :

z, = a + [6cos8 -|- csîn6]x' + [cco8e — ôeinejj/' + [dcos*e4-5«sin2ô + /*sin^o]a/* -}- [d sin^e — jc sin 20 + feos^B]y^ = a + 6'a; + c'y + ifx'^ + ey^ ; (5)

équation dans laquelle on a :

K2}(d-/^)«+e« — (d— /)KW-/?+c'*j

^2 { (d~f) y {d -fr ^e^ + {d-f)* + ,i'\'

l/^lid-ff+e'-id-f) ^(d-f)^ + ^\

~'2{(d-/•)^/(d/•)''+e«-(d-/)He*} "^

l"" En supposant que d* et é ne soient pas nuls , nous pourrons faire disparaître de Téquation (5) les termes du 1"" degré y en changeant l'origine des coordonnées, à Paide des équations a?' ■= 05" -|- « , y" = j/" -[- /3 , ce qui donnera :

z,B=[« + 6'« + c'i3 + dV + e'/3*] +

(6' + 2d*«) J5" + (c'+ 2c'/3)y" + dV'« + eV».

Posons a .,^=__^, A::=« + 6'«+c'/3 + dV f e'/3» ,

réquation ci-dessus deviendra :

z, — A + d'x'^ + ey».

Soit encore ^j =» ^'s + *> ^" trouvera , enfin

z', — dV' + cy».

Cette équation , en renferme deux autres selon que i ti tf sont de même signe, ou de signe contraire, et l'on a, en conséquence ^. = dV'» + e'î^'», (I)

z', «dV'>— c'y'-. (II)

L'équation (I) est celle des paraboloîdes elliptiques. Car quand z\ est constant , on a des Sections elliptiques , et quand x" ou j^" sont constants, on obtient des Sections paraboliques.

L'équation (II) est celle des paraboloîdes hyperboliques* En effet, quand z est constant les Sections parallèles au plan des xy sont des paraboles, et quant x' ou y* sont constants, les sections parallèles aux deux autres plans , sont des paraboles.

Remarque. Les équations (ce) et (p) donnent , par addition et soustraction : d^ -j- e' — /* + d ,

d'où d'^l±l+iye^+(d-ty ,

Donc d' et e' sont les racines de l'équation

u' — (f+d)u + fd — {e- = 0.

Pour que ces racines soient de même signe on doit avoir /■rf ie'>0,

d'où e--4/-rf<0 ou (-£lv(ff!f){^)<o.

Pour que les mêmes racines soient de signes contraires, ou devra avoir fd — î e' -< , ou

Nous concluons de là que le paraboloïde osculateur du 2^ ordre, savoir :

sera un paraboloïde elliptique ou hyperbolique selon que Ton aura :

2^ Supposons maintenant que l'un des coefficients cT ou e% soit nul, que l'on ait, par exemple cf'«= 0. Dans ce cas l'équation du paraboloïde osculateur devient :

z, = a + 6'A?' + c'y' + e'y'\ On fera disparaître le terme en y' en posant

2/'-»" + /5, et /5=^, z,^z\ + (a + (ffi + (ffi'),

et il vient :

jz', = 6V + ey». (III)

Cette équation est celle d'un cylindre parabolique. En effet, quand z\ est constant, les Sections parallèles au plan des xy sont des paraboles ; quand a/ est constant on obtient encore des Sections paraboliques parallèles au plan des yz . Mais en prenant j^" constant on obtient des Sections rectilignes parallèles^ ce qui est le caractère des Surfaces cylindriques.

Remarque. L'équation ti» — (f+d)U'\-fd — ^6^ = 0, dont les racines sont d^ et e', fait voir que quand Tune de ces racines est nulle , on devra avoir fd — {e' = ou e'— A/'dsaO, ou

Ce caractère exprime donc la condition pour que le paraboloïde osculateur du 2^ ordre soit un cylindre parabolique.

PaRABOLOÏDËS OSGULATEURS du 3'"*' ORDRE.

L'équation du paraboloïde du 3™' ordre est Zj == a + 6xi + cy^+ dx,^ + ex^y^ + fy^^ + gx^^ 4- hXi^y^ +

*ariy4* + /yi». (3) Ce paraboloïde devient osculateur quand on détermine les 10 constantes a^b, ... k^lj à Faide des 10 équations , dzg . j- dz . . dz^ V ^ dz ^

£z. d^ d'z, dH

^dx,»' ^dx*^' ^dxt*dy/ ^dx*dy^'

^ dx^dy^* ' ^ dxdy^ '' ^dy,^^ ^ dy' '' En substituant les valeurs trouvées dans Téquation (l{), on aura

Remarque. Il est facile de voir qu'à l'aide des paraboloîdes osculateurs des i^% 2"% 3°', etc. ordre, on pourra construire autant de termes que l'on voudra de la formule générale de Maelaurin,

{ix„y,)-t[x,y) - ( ^)U.-x) + ( ^)iyi-y) +

et par suite de celle de Taylor :

f(x^h,y + k)-nx,y)^{^)h+{ ^)k +