I.r(^)A*+2(-^)A&+(^)it^] +elc

Classification des Surfaces.

Concevons par les points M(x,î/,jj), M'(x + a», y-f- Ay, z-\-Lz) delà Surface z==f(x,y) un plan perpendiculaire au plan des xyy sa trace sur ce plan fera avec l'axe des â; un angle e , donné par la relation

La valeur de t déterminera la direction du plan sécant ci-dessus. Si ce plan coupe la Surface suivant une droite, elle sera sa propre tangente 9 et sera comme telle située dans le plan tangent au point M. Soit donc a:| = x + A^; 2/i = î/+Ay> ^i = ^+A^> on aura

(|-)Aî,. (6)

pour réquation du plan tangent à laquelle la Seciionr rectiligne devra satisfaire.

Mais on a , en général :

Donc, quand la Section^ dont il s'agit, est une droite, on aura, à cause de l'équation (6) :

Maison peut prendre A^; A!/ hissez petits pour que chaque terme de cette somme, indiqué par les crochets, soit plus grand que la somme de tous les termes qui suivent ; on peut donc poser

H■x:^^^^^y + (zj) aî/'] + etc.

séparément

eic.

L'équation (7) peut s'écrire de cette manière :

DISCUSSION DE L'ÉQUATION (a).

Dans ce cas les valeurs de t seront imaginaires , et la Surface n'admettra en aucun de ses points des Sections rectilignes. Si nous faisons l^x=^dx, àV = dy y le trinôme

étant toujours positif ou négatif^ selon que { r-z) sera positif ,

ou négatif^ il suit que les Sections autour du point M, auront la même courbure, convexe ou concave. De plus, le paraboloide osculateur dn 2^ degré, au point M de cette Surface, sera , à cause de l'équation {a) le paraboloîde elliptique.