C.,. soi
alors t n'a qu'une seule valeur. Il existe donc, pour chaque point de la Surface une direction unique suivant laquelle un plan sécant coupe toujours la Surface suivant une ligne droite. C'est là le caractère des Surfaces développables. Comme (^3) exprime aussi la condition pour que le paraboloîde osculateur du ^^ degré soit un cylindre parabolique, l'on voit que cette Surface sera le paraboloîde osculateur du 2^ degré en un point quelconque des Surfaces développables.
alors les deux valeurs de t seront réelles , et il se présentera trois cas :
1** Les deux valeurs de t déterminent des Sections reetilignes; ce qui arrivera , quand pour ces valeurs on aura :
2* Une seule valeur de t détermine une Section recliligne , alors l'autre valeur déterminera une Section courbe ayant un point d'inflexion en M. Car pour les points d'inflexion ^ on a également
Ce cas se présente quand la Surface est une Surface gauche réglée.
3** Les deux valeurs de t déterminent des Sections curvilignes , mais ayant chacune en M un point d'inflexion. Ce sont les Surfaces non-réglées^ mais à double courbure^ concave-convexe ou convexe-concave.
De plus, la relation (y fait voir que cette 3""* classe de Surfaces, avec ses trois variétés , 1®, 2*, 3^, se distingue des deux autres en ce que leur paraboloïde osculateur du 2^ ordre pour chacun de leurs points, est le paraboloïde hyperbolique.
Il y a donc, en résumé, trois classes de Surfaces :
1*» Les Surfaces non-réglées, et à simple courbure; elles ont pour paraboloïde osculateur du 2*^ ordre, le paraboloïde elliptique.
2* Les Surfaces réglées développables ; elles ont pour paraboloïde osculateur du 2"^ ordre , le cylindre parabolique.
3° Les Surfaces réglées gauches, ou non-réglées et à double courbure ; elles ont pour paraboloïde osculateur du 2^ ordre , le paraboloïde hyperbolique.
Normales aux Surfaces.
Si an point Wipif, rfj^^ de contact du plan tangent on élève une perpendiculaire à ce plan , cette droite se nomme une normale à la Suriace au point H^ Il suit de là , que la projection de la normale sur Fun des trois plans des coordonnées est perpendiculaire à la trace du plan tangent sur le même plan des coordonnées. Cherchons les équations de la normale.
Les équations d'une droite quelconque passant par le point H', sont de la forme
y—i/^mix — x'), z — z'=«n(x — ar'). (1
Ce seront donc celles de la normale^ si les projections que ces équations représentent sont respectivement perpendiculaires aux traces sur les plans xy, xz, du plan tangent. Mais en faisant dans réquation de ce plan successivement z=0, y=0, on obtiendra ces traces^ savoir :
dz'
'•^' '•iif'
Les conditions de la perpendicularité sont :
dz' (— )
on a donc
'ir>
Les équations de la normale sont par conséquent
Remarque. Cherchons la condition pour que deux normales à la même Surface se rencontrent.
Soient M'(a/,j/',z')» M"(«'+ A»', y'H- Aî/',«' + A^') , les deux points. Faisons pour abréger
. dxf . ,dz\
^1^^ = ^' ^^')==*' les équations de la normale au point M' seront
Par conséquent celles du point M" seront
F+AF = 0, F,4.AFi = 0, équations qui se réduisent à
AF=A {(z— ^Op + («— «0} = 0- (*
Les quatre équations (1^(2,(3,(4, donneront les coordonnées Xy y, z du point de rencontre des deux normales, plus une équation de condition qui doit être satisfaite pour que les deux normales se renaontrent. Cette condition se trouve facilement pour le cas où les deux nomales , viennent à coïncider, ce qui suppose A3c'=0. En effet, dans ce cas les deux équations (3 et (4 se changent en celles-ci :
d[(z-z')/) + (x-x')] = 0, ou — pdy'+(» — 3/')dp + gdx'— (x— ac')rfî==!0, (3' — iîdz' + (2— z^dp — cfx = 0. (4'
Les équations (4', (2 et (1 donnent :
dx' -j- pdz'
dp
pdx -f-p'ûTx
dp
, qdx' + pqdz
dp
Les valeurs de x^y^z déduites de ces équations sont ce que deviennent les coordonnées du point d'intersection des deux normales lorsqu'on fait A«' = rf^'~ , c'est-à-dire lorsque ces lignes viennent à coïncider. En substituant fes valeurs précédentes dans l'équation (3', la relation résultante
dp {pdy' H- pgdz') — [ pdx' + p«dz' ] rfgr = , (S)
exprimera ce que devient l'équation de condition de la rencontre des deux normales dans l'hypothèse y^x'«=dac' = 0.
Développons l'équation (S).
A cet effet, posons
on aura :
dp = (-^)dx' + (^,)d!f' = rdx' + sdy',
dq'='(^)d^'-^(^)dy' = sd^ + tdy\
En substituant ces valeurs dans l'équation (S) , on trouve , en ordonnant :
(~^)'[»(l + î*)-pgn + (^)[Ki+î')-^(i+p*)]
-[«(l+P')~Pîr]-.0. {a)
Plans normaux aux Surfaces.
Si ou point de contact d'une tangente en M'(x', y', z") d'une Surface, on mène un plan perpendiculaire à cette ligne, il renfermera la normale en ce point, et se nomme un plan normal à la Surface au point M'. Cherchons son équation; elle sera de la forme (!) A(a:— x')+B(y— y') + C(z— z') — 0.
Ses traces avec les plans des xy,xz seront
Mais la tangente, à laquelle ce plan est perpendiculaire, a pour équations :
La condition de perpendicularité donne :
A. dy' , A rfz' . „ , B ^=*' Crf?"-*' «*«"
En substituant ces valeurs dans l'équation (1), il vient :
(x— a;')rfa;' + {y-2/')dy + {z-z')dz'= 0; (2)
dy' dz"
ou x—x' + (y— y ) ~ + {z—z) -^ = 0.
C'est l'équation cherchée.
On peut lui donner une forme propre à mettre un évidence l'in-i détermination de cette équation. Car, soient âs, ^, y les angles que la tangente quelconque en M' fait avec les trois axes, on
aura
dx* ^ dy' dz^
cos«==— , cos/5=--, cosy»^;
donc l'équation ci-dessus devient :
(x — x') cos a -J- (y — y) cos /? + {z — z') cos y = 0. (3)
Les coefficients de cette équation n'étant donnés que par la relation unique
cos^^ -j- cos*/ô -}- cos^y ==» 1 ,
il suit qu'elle est. indéterminée. Au reste^ on conclut la même chose de la relation (2), dans laquelle les trois coefficients dx\ dy\ dz' ne sont donnés que par la relation unique
tirée de l'équation de la Surface.
En mettant dans (2) pour dz* sa valeur (5) , on trouve
rf«* [ («- «•) -H ( ~ ) (z— z') ] + dy' [ (y - î^') -1-
d'où: x-x'+cgxz-Z^-O, y y'+(^')(2 z) = 0.
De ces équations on déduit
(^) (6) z-z' = --L^{x-x'), y-y^^J^ix^x').
Donc le plan normal renferme la normale au point M', et par conséquent tous les plans normaux se coupent suivant une même droite (6) normale à la surface.
Remarque. On nomme Section normale^ toute Section faite dans la Surface par un plan normal , et Section oblique toute Section faite dans la Surface par un plan quelconque non normal.
Courbure des Sections normales et obliques.
