CENTRE ET COURBURE DES SECTIONS NORMALES

Le plan osculateur au point M' de la Section normale en ce point a pour Sectrice la droite donnée par les deux équations

(1 (x—x')dx' + {y—y')dy' + {z—z')dz' = ,

(2 (a?— a?')dV+(y— y')^V + (z— z')dV — d«'*«0.

Le point de rencontre de cette droite avec le plan osculateur correspondant est le centre du rayon de courbure de la Section normale en M'. Mais ce centre est aussi à l'intersection de la Sectrice et de la normale au point M', dont les équations sont :

(3 y-.y'=.X(x-x), z-z' = -i(a:-x'). (4 Donc le centre 4u rayon de courbure de la Section normale en

M', se trouvera par ces équations , et ses coordonnées auront pour valeur celles de x,y,z tirées des équations

^ df* •

Le rayon de courbure « de la même Section au point M', sera « = |/ { (x-x')« +(y-î/')* + (^-»T ! ,

Substituons dans H, pour d^z' sa valeur, tirée de Féquation de la Surface. A cet effet on a :

donc

dz* = pd^x' -h q^dy + rdx'* + Isdx'dy" + tdy^ , donc

Soient a^fiyi les angles que la tangente à la Section normale au point M fait avec les axes des coordonnées , on aura

dx' ^ dy' dz'

cos««=-7T, cos/3«3-— ., cosy=*-:7r.

d$ ds' d$*

Donc (6 H = r cos*^ + 2* cos a cos /3 -{- f cos«/3 ,

et ç= L L — L-i — ___ .

r cos'^« + 2s cos a cos /3 4- ^ cos'iS