CENTRE ET COURBURE DES SECTIONS OBLIQUES

. Si par la tangente ci-dessus on conçoit un plan sécant incliné de i Mgleaàla Section normale passant par la même tangente ; on

aura une Section oblique, qui jouira de la propriété que sa Seetrice passe par le centre du cercle de courbure de la Section normale correspondante, quelque soit a.

En effet, la Seetrice de la Section oblique et la normale en M^ se rencontrent , puisque ces droites sont éyidemmeot situées dans le même plan , normal à la Section oblique* Les équations de la Seetrice de la Section oblique sont de la même forme que les équations (1 et (2; donc le point de rencontre de cette droite avec la normale, est donnée par les relations (a. Ce point de rencontre ne change pas de place quand a varie ; en effet, la formule (6 fait voir que H reste constant aussi longtemps que les angles «> /?, y ne varient pas> c'est-à-dire aussi longtemps que la tangente commune aux deux Sections ne change pas de position. On obtient par conséquent la Seetrice de la Section oblique, en abaissant du centre de courbure de la Section normale une perpendiculaire sur le plan de la Section oblique ; le pied de cette perpendiculaire sera le centre , sa distance au point M*, le rayon de courbure Çt de la Section oblique. Donc ,

Le rayon de courbure de la Section oblique est la projection sur son plan du rayon de courbure de la Section normale correspondante, ayant avec laV Section une tangente commune, c'est-à-dire,

Ton a :

ç^ = çCOSO);

c'est le Théorème de Meusnier.

Sections normales principales.

Il existe en chaque point d'une Surface quelconque deux Sections normales dont l'une a la plus grande, et l'autre la plus petite

courbure — .

Ces deux Sections normales se nomment les Sections principales de la Surface au point que l'on considère.

Analyse. Le maximum ou le mmimum de ç = ^ ^ ,

dépend du minimum on du maximum de

H = r cos'ûc + 25 cos « cos /3 + teos^fi;

ce qui fournit la condition c/H — (r cos ds -}- s cos fi)dcosa ^

(^s cos a + 1 cos fi)dcos 13 '^ 0. (\) Cherchons la condition pour que les angles a, (3,7^ soient ceux d'une tangente au point M' de la Surface. Pour cela , on a

pour l'équation du plan tangent en M', qui contiendra la tangente en M'« Mais on a :

z — z'^^hcosy^ y — i/ssakcosP, x — x'aicosA, donc (2) devient

cosy s=spco3a+ q cos/3, ou

1^ 1 — cos*« — cos»/3 =3 p cos â( + g cos i3^ ou

( 1 + p«) cos«« + 2pg cos « cos i3 -f. ( 1 + ç« ) co««i8 =. 1 , (3

c'est la condition cherchée.

(3 donne

[(14-P*)cos« + pq cos 0]deosa^s —

[(l4-3*)cos/3 + p5fcos«]dcos/3/ (1 donne

( r cos « + « cos i3 ) d cos « a= — ( 5 cos « + r cos |3 ) d cos i3 ,

d'où; en divisant :

rcosa + seosfi t cos fi -^^ s cos a

(1 +/}')cos«+pçcos/3 (l+Ç*)cosi3+pçcos«*

Cette équation jointe à l'équation (3^ et à la relation

ç= ^ 2-^ détermineront les valeurs dea^p^ç, qui

conviennent aux Sections principales* L'élimination se fait facilement quand on observe, que si l'on donne

a c , am en a amA-'cn c

— aa — , donc -7~^ ^=^ "^^ » on a — ^ ' =331 •— • b d bm dn b bm-^dn d

D'après cela , multiplions les deux termes du l"*' membre de (4

par cos «y ceux du 2^ par cos/S, puis ajoutons les numérateurs

entre eux , ainsi que les dénominateurs , la fraction résultante —

sera égale à chacun des membres de l'équation (4. On a donc : rcos« + çcosi3a« H[{l-j-p')costf +pgcos/3] , f cosiS4- çcos«— H[(l+5r*)coSjS+/>gcos«];

ou [H(l-f-p*) — r]cos« = (s— pçH)coSj8, i

[H(l+(j(') — Ocos/3 = (»— ;^H)cos«i ) ^"^

En multipliant ces équations entre elles , on obtient :

[H(l+p»)-r][H(l + g«)-f] = (,|,gH)S ou

H+q*)r — 2pqs]H + rt = sK (5 Cette équation fera connaître les deux valeurs de H relative aux Sections principales. Si nous éliminons H à l'aide de l'équation

'= ii '

nous trouvons

Cette équation donne les rayons de courbure des deux Sections principales; le nombre de ces Sections résulte du degré de Téquation (6).

Remarque. Soient ç^ , ç, les deux racines de cette équation , on aura :

Çi • 4^1 = ; ; .

Le numérateur de cette expression étant positif, le signe du produit ^^«ç, dépendra de celui du dénominateur s^ — rt. Donc

1" Si Ton a s' — ^^<0, les deux rayons de courbure ç^,ç^ seront de même signe; cela arrivera dans les Surfaces de la !'• classe^ à simple courbure (concave ou convexe]^ car ces Surfaces sont caractérisées par la relation s' — rf -< .

2® Si Ton a s» — rt^Oy relation qui convient aux Surfaces réglées gauches, ou à double courbure (concave -convoite), les deux rayons ç^ et ç^ seront de signes contraires.

S"" Dans les Surfaces développables pour lesquelles on a «• — rf == 0, Ton voit que le rayon de courbure de l'une des Sections principales est infinie.

4* Pour que Ton puisse avoir ç^=ç^^ ou des ombélics , il faut que Ton ait $* — rt^Oj donc les points ombélicaux n'existent que dans les Surfaces de la 1" classe.

Propriétés des Sections principales.

Prenons le point M'(«', j/,^') pour origine, le plan tangent en ce point pour le plan des x^y ; on aura :

a' = 0, 3/' = 05 i5'=0,ja=0, cos/3 = sind5. L'équation du plan tangent devient

px + gj/ = 0; d'où : p s= 0, g = 0. Soient ri , Si , ti ce que deviennent r, s,ty l'on voit que l'expression du rayon de courbure d'une Seclion

normale ç = l^j jl ^ devient :

r, cos'« + 2S| cos « cos /3 + ?, cos*j3 '

t't cos !2«-t" 24| cos « cos ^ 4- ^ sin*« * '

â'où l'on tire

L„ !1±A 4- îlZL!î cos2« + «,sin2«. {!')

Les Sections principales répondent aux valeurs de

da ou à — (r^— f|)sîn2û(:-f 25|Cos2^« = 0,

d'où: tg2« = ;:^. (2)

tf( ne variant qu'entre et ;r, cette équation ne fournira que deux valeurs pour 2^5, savoir 2âî, et 2^«-}-nr. Donc les Sections principales sont rectangulaires entre elles , puisque leurs angles d'inclinaison a, par rapport à l'axe des x , sont ^ et « -}- -^ •

Donc, dans l'équation (1), ç sera un maximum pour l'une de ces valeurs, et un minimum pour l'autre. En effet, l'expression

— T-j- , change de signe de Tune à l'autre'de ces valeurs.

Faisons ae=sO, alors xz sera le plan de lune de ces Sections, et Ton aura par (2) «4=0, Donc (0) devient :

— == r^ cos»« -h r, sîn*a . (S)

Soit Ç|;Ç, les valeurs de g correspondantes à « — 0, ««--^ on aura par (5)

Ces équations déterminent les valeurs des rayons de courbure des Sections principales.

Les valeurs de r^, r^, changent (o) en

il 1

c^est l'expression du rayon de courbure d'une Section normale quelconque , en fonction des rayons de courbure des Sections principales.

Remplaçons dans (5)^ a par a-{- -s-> et nommons ^ le rayon

de courbure delà Section normale correspondante, perpendiculaire à celle qui répond à a, on aura :

--== — sin'tf 4- — cos'tf. (6)

Les équations (S) et (6) donnent :

Donc la somme des courbures de deux Sections normales rectafigulaires , est constante et égale à la somme des courbures des Sections principales.

Des Ombélics.

Quand le point M' (a/, y',*') est tel, que l'on a 1+J9' pq 1+g'

on aura aussi

(l+p')(l + g') ___ p;£ O+P') (!+?') rt rt s' ' p'g* «" *

et i4-p»-{.g»„p'(j,».il=£.

Donc FéquatioD aux rayons de courbure des Sections principales devient :

Cette équation a ses racines égales

Les points de la Surface qui jouissent de cette propriété çi = ç%y se nomment des Ombélics.

Les deux équations (1) , jointes à celles de la Surface ^ servent à déterminer ces points .

Lignes de Courbure.

On nomme lignes de courbure des lignes tracées sur une Surface quelconque de manière que deux normales consécutives de ces courbes se rencontrent. Donc, si l'on cherche la condition du concours de deux normales aux points M(x', 3/',j5'), M'(x'4-Aa;',2/'+ Ay'^z'^Az'). En y faisant Aa?=0, on aura l'équation différentielle des lignes de courbure. Cette équation est, (voy. § 66) :

(âr)*t*(i+9')~H«]+(^)[r(i+î*)- «(!+;>*)]--

[s(l + p^)~pgr]-.0.

Celte éqnatioD étant du ^ degré ^ Ton voit qu'à chaque point M de la Surface répondent deux lignes de courbure.

Je dis que les deux lignes de courbure au point M , sont à angle droit, ou que leurs tangentes en ce point se confondent avec celles des Sections principales au même point.

En effet , soient a, fi, y les angles avec les axes de la tangente en M à la Section principale^ on a trouvé la relation :

rcosa + scos/i (l + pQcos^g+WCOsff rcos/3-i- stosa (l+9*)co3/3 + pqeosa ' d'où :

costf cosa

cosiQ ,. . *nC0S/3

m* • ^ ^ du' cos^ dy' -

Mais on a cos«— -77-, cos/3 — -fr, — =a-^, donc <fcr dr cosa dx'

d'où

i^n*(.i+r)-pqt]+(%-)[rH+q')-Ki-\.if)]-^

[»(1+P')-Mr] = 0, (a)

équation identique avec Téquation différentielle des lignes de courbure.

Donc les deux tangentes en M aux Sections principales , coïncident avec celles des lignes de courbure, donc ces lignes, ou leurs tangentes en M , se coupent à angle droit.

Remarque. On simplifie Téquaiion (a) en prenant pour plan des x.y un plan parallèle au plan tangent au point Vi'Çpfy^,^ de la Surface; car alors on aura p=0, 9====0, et l'équation ci-dessus deviendra :

Soient ai et ai les deux racines de cette équation , on aura :

H y a donc en chaque point W(oc!,y',z') deux lignes de courbures perpendiculaires entre elles. De plus,

1** Si s^ — tr < 0, le point M'(x', i/, z^ , aura pour son ordonnée z' une valeur maxima ou minima , à cause de p=0 et q = 0. Ce qui ne pourra arriver que dans les Surfaces de la classe de celles à simple courbure.

T Si s' — fr=0 pu «2 — fr>0, l'ordonnée z' ne sera ni un maximum ni un minimum, quoique Ton ai( p=sO, 9 = 0. Le plan tangent en M', pourra être en même temps un plan sécant. Cela arrivera, par exemple, pour les Surfaces à double courbure (concave-convexe).

Génération des Surfaces.