ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DES SURFACES GAUCHES

a) Surface gauche engendrée par une droite qui glisse sur deux directrices quelconques , en restant constamment parallèle à un plan fixe donné.

Analyse. Soient z = a ) , ,

y = /Sx + y J '^^ ^^"^^- ^^ '^ génératrice,

Fer )

F =s 1 '^^ équations de la 1" directrice,

celles de Tautre directrice.

Il faut exprimer que la génératrice s'appuie constamment sur les deux directrices, ce qui donne, en éliminant x,y,z, les deux équations

Éliminons «, ^, y, entre ces équations et celles de la génératrice., on aura

(1) y=x9)z4-;/iz ou y^Xff^z-^-'i^^^z.

En différentiant (1) par rapport à x^y ^ on a :

= yZ + X^'z^p-J^y^Jz^p^ \ = xtfz^q -{- y^/z^q ,

En différentiant de nouveau , on a

qr—ps qs — pt

d*où , eu divisant:

g'r — 2/)gfs + pV 0.

b) Surfaces gauches engendrées par une droite qui glisse sur trois directrices quelconques.

Analyse. Soient x ■==« «jj + y ) , , , , »...

'Mes equat. de la génératrice ,

p n 1 '^^ équat. de la 1'* directrice ,

p ^ Q Mes équat. de la 3""" directrice ,

il faut exprimer que la génératrice rencontre les trois directrices , ce qui fournira des équations de conditions de la fornae

Pzsfa^ yssx^af J=Çû5, qui conduiront aux équations

x = az + \lfa ) .

y^Zfa + ^a. ] ^ '

Le système (1), dans lequel a reste à éliminer, représente l'équation finie de la Surface. On obtiendra son équation différentielle, en éliminant les fonctions y, \^, §.

irii.