SURFACES ENVELOPPES

Soit F(x, y, js,«) « 0, une Surface renfermant un paramètre a y si l'on change

a en ûs-J-a^s, a-^2Aûs, etc.

Les Surfaces consécutives

F(a?,2/,5:,a)=0, F(a;, t/, z, « + Aa) = , F(a;,t^,5:,« + Aa)«0, F(aî,t^,i2,a4-2A«)=Q, etc.

se couperont respectivement suivant des courbes f, f4,etc., dont le lieu géométrique est nommé la Sur face enveloppe de la proposée.

Analyse. On a :

— =i^(x,y,z,û5;H — h Aa*P = U

dF(x,y,z,«)

Pour AassO, on a

r/F(ac,j/,z,a)

Donc, en éliminant a entre cette équation et la proposée F(x,y^z,a) = 0, l'équation résultante de la forme

sera 1 équation de la Surface enveloppe.

!•' Exemple. Chercher l'enveloppe d'une Sphère dont le Centre glisse sur Taxe des x , et dont l'extrémité du rayon se meut sur une ellipse ayant pour équation

Pour a?=a; soit le rayon r de la Sphère «r', Téquation de la Sphère pour cette valeur de x, sera :

L'équation correspondante de TEllipse sera

y-O, ± + Ç^i; d'où r'««^(««««).

On a donc, pour l'équation de la Sphère

donc —,— a=» — (X — a) H r • a = 0.

ac6 ^ ^ a:

De celle-ci on tire a =* — :— » donc F = devient : o' + c

c'est l'équation d'un ellipsoïde de révolution ; ou à deux axes égaux.

S"' Exemple. Chercher l'enveloppe d'une Sphère de rayon cens-» tant r dont le centre glisse sur Taxe des x.

Soit x«««, une position déterminée du centre, l'équation de la Sphère correspondante sera

F = (x — «)» 4- ï* + jz' — r" «? ; d'où

En éliniinant a y il vient

équation d'un cylindre droit.

Remarque. Si Ton a

F == F(x, y, 5r, «; iS) = 0, /? = Ça, on aura

3"" Exemple. Trouver Téquation de l'enveloppe d'une Sphère mobile d'un rayon constant, dont le centre {a, fi) se meut dans le plan des xy sur une courbe dont l'équation est

fi^fa. (a)

Il faut éliminer a entre les équations

F = (x— «)* + (y--iS)« + £>~r'=0\ (1)

dF dS

(2) est l'équation d'un plan normal à la courbe (a); donc la caractéristique , ou la courbe d'intersection des Surfaces F s» ,

dF

— =a , est un grand cercle normal à la courbe (a) , quelque

soit cette courbe.

Si la fonction ç est donnée , on pourra effectuer l'élimination. Par exemple, soit

ly rf^

iç=5PK a' — tf», on aura «-r—

donc, en éliminant ^, on obtient

{aàzVx^^y^y^r-^z^; c'est l'équation du tore à directrice circulaire.

Dérivée et Différentielle des Surfaces.

Soit s=»F(a?,y), et s' = F(a5 + Ax,î/-{"Ay), si nous désignons par AxSy et é^s les accroissements partiels de s^ dus aux accroissements respectifs LXyLy^ il est clair que si dans l'expression 5+A«s, on change s en «+Ay«, on aura pour s' la valeur

«' «=s » -f Aas'» + AyS + h (^«*)-

L'accroissement de s, dû aux accroissements simultanés ax, Ly sera par conséquent

A<r = Ay(Ax8)«

Soit maintenant une Surface quelconque S , déterminée par l'équation f(a?,î^, ^)=0 , dans laquelle * et y expriment les variables indépendantes; il est clair que S pourra être considéré comme une fonction de x et de j/, et par conséquent l'accroissement de cette Surface y dû aux accroissements simultanés ax, et A y des deux variables indépendantes x et y, pourra être représentée par la formule ci-dessus

A(r=-Ay(A»«). (1)

Il est facile de construire géométriquement l'accroissement ao*. En effet, prenons sur la Surface S un point M(x,î/, z); par les extrémités des abscisses x, â?-i-AX; menons deux parallèles à l'axe des y y puis par les extrémités des abscisses y y {/-{-Ay, tirons deux autres droites parallèles à l'axe des x. Ces deux couples de parallèles se couperont suivant un rectangle qui aura pour aire le produit ax«aj/. Si nous prenons ce rectangle pour base d'un parallélipipède droit P, celui-ci coupera la Surface S suivant un quadrilatère courbe, qui sera l'accroissement Ao* de la Surface, correspondant au point M.

Si nous concevons un plan tangent au point M de la Surface, le même parallélipipède P coupera ce plan suivant un quadrilatère plan Aa-% qui aura pour projection sur le plan des x^y le même rectangle ax aj/^ base du parallélipipède P. Soit a> l'angle que le plan tangent en M fait avec Taxe des x, on aura évidemment

AX*ày s= AO*'* cosco ,

d'où : A<r = àx*ày* . (2)

"^ COSO) ^ ^

X ei y étant les variables indépendantes ^ on pourra poser y^^Uf y^ypvj ç» et ;p désignant des fonctions arbitraires^ et v une variable indépendante telle que raceroissement av de i/ amène les accroissements a x et a j/ des variables x et y. On a donc, par le Théorème de Taylor :

Aa;S .d^ dx . -^

On a donc aussi

dy dv

Mais on a aussi :

^x dx ny dy ^ ,,

Av ai; Av ai;

et par conséquent

àx*èiy dx*dy

+ Al/. H.

Al/* rfi/^

On obtient donc , par l'équation (2) :

A0-' r dxdy , „n 1

Al/^ L rfï^ J COSû) ^^

Mais on a évidemment ao-^ ao-', donc aussi - — "^ ^^

Al/2^ Al/» •

De plus, ces deux rapports seront évidemment égaux pour ai/=0, on peut donc poser :