fx=a + 6x » rf.(a+6x)'*=/t6(a+6xf-i.6(/x

o. » ^ = — , on a :

Pour 6 = 1 ona d'y'=.—Èi — . Pour «=2, on a :

i. Soit jC6=3 — a. on a :

dy ^.

3"' Théor, 5oft yc=e^*, e étant la base des logarithmes népériens , je dis que F on aura :

Démonst. On a , par la règle fondamentale y et le 3^ théor. des notions préliminaires :

dx rft/=e^*l'xrfx.

CoroZ/. 1. Soit tx^Xy on a t/=fc*, TT"^' dy=e'dx.

dv Soit fx=— X, on a t/=e-*, -r-= — e-^, dy^—e-^dx.

CorolL% Ona a = e^**«% donc j/±==a^*=c^^««''*; d'où: ^J^=:eï«»»-f«.Iogaf'x=a^*.logarx.

Siix=x, on a -,— = a*loga.

4.* Théor. 5o27 y s= log (fx) , e étant la base , je dis que l'on a : dy fx ^ fx ^

d;:=f7''y=ix-^^-

Démonst. De Féqualion y = log(fx) , on déduit

fx = cî': donc fx^c^.— = fx- -:^;

où

d'où Ton tire :

Coro//. !• Sifx = x on a ^251^ L^ dlogx=— .

dr X ° X

Cbro//. 2. Si y—af, on fera x = c^«*, donc y;=c* »<>«?«, d'oî

^ = e«iogx^Ël^ ^ dÇxloyx) cfx dx dx '

Rem. Nous indiquerons les logarithmes dont la base est

es(l-f 0)% toujours par la notation log, ce sont les Ic^ritbmes népériens; les autres logarithmes^ à base quelconque a, seront indiqués par Log.

Coroll. 5. Soit y==Log(fx), a étant la base, on aura :

y=Log(fx)= T •log(fx); donc

dy { Vx i Vxdx

dx log a ' fx ^ log a fx

o* Théor. Soit y = sinfx,ye dis que Von aura :

— ^ == Px cos fx , dy = Pxdx cos fx.

= fx sin (fx + — ), dy =Pxdxsin(fx+ — ).

Démonst. On a, par la règle fondamentale; et le i"" théor. des notions préliminaires :

dy 8in[f(x+da:)] — sin fx

sin (fx-f-dfx) — ' sin fx

dx sin fx cos dfx+ sin dfx cos fx — sin fx = di '

sin fx-f-dfx»cos fx — sin fx di '

= -r- • cos f X = fx ces f X = fx sin (f X H ).

dx V ' w, y

dy = f'xdxcosfx=l'xdxsin(fx-j- ^).

Coroll. I. Si fx = ax, on a ;

dsinax , , . rfsinx

— - — t=zadxcosax; quand a=i on a — •■ — =cosx,

dsinx = cosx*dx.

CorolL 2. Soit y = cosfx = sin(— — fac); on aura :

rf(f.fa;) - = cos(--fx) ^j— ,

rffa: . ^ /y . 1.

= r— sin fx = — fx sin f x.

DonCy si fx«— ax, on a — ; — == — acte sin ax; quand a=l,

t uX

dcosx . ^ . ,

on a — ; — = — smx, et acosx= — sinxax.

ax ' jr

Mais comme on a eos (fa: 4-"5")= — sin fx , on aura aussi :

~«= — f'xsinfx = fx-cos(fx-|- -â)*

6* Théor. Soii y=tgfx, on aura :

dy i'x - f'xdx

dx eos*fx cos'fx

T^, . . , ^ sin (a — 6)

Démonst. A cause de Isa — tg 6 =« — ^ r > on aura

'^ eosacos6

c/y ^ tg(fx + rffx) — tgfx sindfx

rfx "~ dx eos (fx 4- ^f ^) cos fx * '

dïx

' (eos fx eos rf fx — sin fx sin rf I'x) eos fx *

(cosfx — dfx#sinfx)cosfx ' fx

CorolL 1. Si fx = x, on a

cos*fx dtgx 1

dx cos*x

CoroU. 2. Soil y=cotfx«=lg(-^ — fx); on aura :

f/?/ dx —Px

Tx ^ ~Z ~ " sinMx • cos«(— — fx)

7** TflÉoft. Soit y = séc f x , je dis que l'on aura : dy fxsinfx , fxdxsinfx dx cos'fx ' ^ cosMx

Démonsté On d :

t/ = sec f X = r- t donc

cos I X

— = r 'V*dx,

dx cos 1* (x + dx) cos f x

cos(fx-|-rffx) .cosfx '

(cosfx — cosfx -H rffxsinfx):dx cos M' X — d 1 X . sin l'x cos l'x '

-7— .sinfx „ . cfx fx.sinfx

cosM'x cos'fx

CorolL Soit ya=coséc fx = séc(-^— tx) , on aura

d(j-fx)

sin( fx)

dy dx 2 — Px cosfx

c/x ,,î«' 1. s sin'fx

cos»(— — fx)

8" Théor. Soit y = arc sin f x , je dis que Von aura • dy Px fxdx

Démonst. De Téquation 2/ = arc sinfx, on tire :

fx=sin y, V\ — (fx)* =■ cosj/.

dfx dsîny ^ dy „ , ,,

Donc = — r^ ou rx = cosy -p-j dou Ion lire :

dx dx dx

dy Tx fx

dx cos y j/i(iaî)«

Coroll. 1. Soh fa: = ax, on aura :

ix Kl— o'x»

Si Ton fait a = 1 , il vient :

€larcsin*x 1 ,, . . rfx =- ^ , et rf(aresin,x)= ■

Coroll. 2. On a :

y=.arceos.fa;=-5 aresin.fa;), donc

dy — {'x d(arc cos • f x)

c/a; »/l(fa:)3 dx

c- r - d (arc COS. ar) — 1

bi Jj?=x on trouve -^ ^= — ■

— dx (i(arccos,x) =

Kl — x2

9' TuÉoR. Soit y=arclgjx, jerfw çuc Von aura :

dy Tx , fxdx

, dy = .

dx l+(fx)2 ' ^ l+tfx/* DémonsL De y=arctg.faî on tire fx = tgy, donc:

!«:== — r-, dou :

dt/ -^ssfx.cos^y ,

fx -l+(fx)^- Coroll. 1. Soit (x=x on aura f'x=l; donc rf.arctg.x 1 dx

dx 1 + x*' ° 1 + x'

Cot^olL 2. Comme on a :

î/==arccot»fx =--■ — arc tg-fx , on trouve :

dy — fx

dx" l + (fx)»'

— Silo* Tbéob. Soii y=arcséc«rar, je dis que Ton aura .

dy fx . fi.dx

— , dy =

*** f X l^(f x)« - 1 fx l^(f X)*— 1

Demonsi, On a ij?=5ecy= , co?îf= — , siny^ ,

cosy fx fx

dy .

^^smy i/sécv dx M • ■•

Donc rx= =^= ; aou ion Ure :

lit cos^l^

^ fx*cos«ff ^ i X(fxy— 1 ^.

dx~ sîny ~ "(f*)*' f* fx|/(fx)'— r

Coro//. I. Soil fjr«x, on aura fjr^ I , donc i/.arcséc«x 1

Cbroi/. 2. On a :

yssarecosé'fx^-^ arcséc«fx, d'où:

d'y — Fx

''*~ txt^(txf—i II* Théob. 5oii y = ^x 4- 1^ — 1 •-/'i , on awa :

^=t'x+ 1-^=7.^1, dy=(f'x+K=î;/.'ï)dx.

DémofKl. Oa a , par la r^e fondamentale :

dy |»(^+rf»Hi'^^f(x+d>)j-{fx+i/:rTj,x ]

dx dx

f(x-\.dx)—fx , .^— r •j<x 4-rfx)— •j'J - S +*^-* di '

dy = (f'x + K'^ .i^x)dbr.

DÉaiVÉES ET DIFFÉRE2fTIELLBS DES FOXCT105S COMPOSÉES.

12* TetoR. SimY y = f x + fx, je dis que l'on aura : ^ = ,'x + rx, dy=f'xdx + rxdx = dyx+dfx.

Démonst. On a :

dy ?(x'\'dx) + f(x + dx) — <fX — tx

dx dx

^[x-\-dx) — fX t(x-\'dx)—fx "" djc "^ c/ac '

d^ dtx

dx ^ dx ^ ^

dy = .dx + •dx=df X +dtx ssfxax + txàx*

"^ dx dx

CorolL l..Siy«=ayX-|-6far, on a:

dx Soit 6=» — !, a = l, donc y = fx — fx, on aura :

Coroll. % Si î/ = arx + 6fxX + cfaX + etc. , on aura :

$i==arx + 6r.x + cf/x + etc.

13* Théor. Soit y ■= ç,x»fx , je dis que l'on aura :

— = /x-fx4-f'x-î!X, dy = fx«dfx + ?x»dfx.

Démonst. On a^ par la règle fondamentale :

dy ^ f(x+dx)f(x-\-dx) — fX^fx dx dx '

(yx -f d?x)((x + dfx) — yx'fx

^ fx»fx+fx»rffa;-|-fx»dfx4-rffx.dfx — ^x»fx d^ '

dfx , - dfx , , dfa:

a=fX-f'x 4" fx»f'x4-f'x*f'x.dx ,

= fx.ra; 4" fx'f'x; dy = fx«fxrfx + fx.f'xdx= yx»dfx + fx»dfx.

CorolL Si y=î»x*fx«;px, on trouve :

— set/y d(tx.\{fx) dfX

14* Théor. Soit y= — , je dis çiie Ton aura :

dy f>x»fx — fx./x fX«dfx— fx*d,>x

— - a= :^z , dy = — " •

<lx ^x« ^x«

fx Démofut. De y«» — , on lire (x^^y^fx;

donc fx == -p «fx -|- f'x.y ,

dx ^ ^ ^ fX

(/y fx fX»fx — fx./x

ite ~ yX ~ ^

ox.fxrfx — fx.o'xdx 9X*dfx — fx.f/fX di/=:i :iz ^^ = = --.

CorolL Soit fx=««a, donc y=- — , on aura fx=sO, d'où :

ffX

du — flç'x ^ . -

^-^ — i — , Soit a=5=I, |»x = x,

dx ^^

l éy ^4> i

donc t/= — , on aura -— m— - — = -.

^ X dx dx x^

/îeiw. Soit y=fx.\px, donc logy = logyx-|-log»px, on aura

diogy dlo$gyx dlog^x

dx dx ^ dx *

dy dfX d^x

ydx'^ focdx \px»dx^

d'où

df X ^ ^ , d'^fx { fx^^Ax

= /x.tpx + •+'«;•? X.

(b). DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES p'UNE FONCTION A TARIABLE DÉPENDA!«TJB.

15* Théor. Suit z — fy, y«»fx, x étant ta variable indepen^ dante , je dis que Von aura :

dz dfy àfx df àf ^ dz dy

dx dy" " "dx" "^ dy dx "" dy * dx '

Démonst. Si y était variable indépendante ^ on aurait :

dz =« —•dy. Divisons par dx, il vient :

dz dt dy ^. . ^ ^ dy d?

-7^== — • ~. Mais on a : ---=:—•, donc dx dy dx dx dx

dx dy dx '

dy dx Coroll. Soit n^tzj z^fy , y^'4^Xy on aura :

du df rfz (f^ dy ^ d\l/ dz dz ^ dy dy ^ dx cte ' done en multipliant il vient :

du dz dy dt d? d\L dz dy dx dz dy dx du df df d^, dx dz dy dx

!•' Exempte. Chercher la dérivée de ijara(a-f.Ax"*)*, Je fais z = y^f j/saa+tx'", j'aurai : dz dy

dy "^ doc

en multipliant ces deux équations j*cn déduirai : dz ax 2" Exemple. Cbei*eher la dérivée de r=a;*. Je fais ysasxlogx , d'où zssséf. Ces équations me donnem :

— =eî', -iî-=logx+l, donc; dy dx

dz dy dz „ . . ,, . ,,

3« Exemple. Chercher la dérivée de z= log —.

Je fais y = r- > "0"l 5=log t/; on aura :

dz 1 dy ^ab

7" =" — > -j- = r^T- ; donc

dy y ^ (a—bxy

dz dy dz i 2«6 ^ ^ 1

rfy (/x rfx y (a — 6x)* tt^ — 6*x*'

TRANSFORMATIOxN DES FONCTIONS DIFFÉRENTIELLES IRRATIONNELLES EN EXPRESSIONS RATIONNELLES.

!•' Problème. Étant donnée une expression de la forme

dy = f{fx^, fx^ , fx'',... )dx, ?x étant rationnel, on demande de rendre rationnelle cette expression.

Solut. On fera f^x^z "\ soil x^sa-^z, on aura fx^ œz* '''* ^x s=zz , yx =s z dxs=^\î/z*dz y dou

aJ,... ^y„... p<î«..

cfy=sf(z , z , z jxf/zdz.

1" Exemple. Rendra rationnelle lexpression

On lera x=js% cfx = dz^dz , |/x =« z^ l^ x = z^, donc

z^ +£' rf2/«6 '.z^dz.

Exemple, dy = f \/«±5 i Vî±^}rfx , doit être t a — bx * a— 6x)

rendu rationnel?

a+bx , a z^—l , a i^z^dz

V^^z^ V^i±^-.S donc éy=:^l^!±P^.

2" Probl. Rendre rationnelle la formule

dy =t f(x , Ka+bx±x* )dx.

5o/tl^ l"" Soit à rendre rationnelle Fexpression

rfy — {(x,l^a + bx + ««)(&.

l^^crt. Posez V/a-f-ôx+x* =ar + jj; d'où : a + 6x = 2zx4-zS 6(ir = 2z(fa + 2xrfz + 2z(fe , g'— g 2(z« — 6g + a)

2* ilfé^A. Quand a est positif on peut poser aussi : Ka + 6x + x2.j/ a^xz.

Cela donne :

b + x=^zy^+xz^, dx = ^dzy'â+z^dx + ixzdz ,

^zi/a—b ^ 2(z« 1^1 ^bz + l/â)

^=-1=^-^ ^^ = ' jîzr^^ ^'>

Ka + 6x4-x2«r— j jJ ;

Jonc .*.

^y°^( 1-.^ ' — TTp — ^ — (r=^^* —

3« Méth. Quand les racines de Téquation

a+bx + x^ = {x—a){x--fi)=:0 sont réelles, on peut poser

K^a+ôx + x» = (x — «> / on aura :

X— ^ = (x~«)jj« , dx^z^dx + 2(x— a)jîd;5 ,

/3— az*

2° Soit , en second lieu ,

dy mr, f (x , V^a-\-bx-.x^)dx.

1" Méth. Elle n'est plus applicable; car en élevant

au carré , le terme en afl ne s'en irait plus. 1* Méth. Gomme o>0, on pose:

l/o4-6a;— af» = |/^ + xr, d'où a + Aa; — a?=! rt+aKô.xz + xîz» ,

</x = — 2k^«fc — 2arz<fe — zVx ,

.^ ; ■ ./- , 6-21/â.z V^-J-6z-kV.z«

Donc

(6— 2l/â.z l/7i-{-bz-y^'z':

^ Ab—^Va-z Va^-bz-Va'Z^)

- 2 (l^+6z ~|/à .z^)(fe ^ ô+^f ■

S* ilfé/A^ Si les racines de l'équation

a3 6x— o •= (» — «)(a;— /3) = sont réelles , on posera :

\^a-\-bx—a? -= (x-«)z , (x— «X^— «) —(x — «)»zS

rfx — — ^xdz + ^azdz — z^dx ,

fi+az^ ^ %a---(S)zdz X = ■ , ax =» ■ ■ ■■ .

V a+bx — a?'^ \ . ; ; donc

.(3-Hz« (i9— a?)g ) %(t—0)zdz

La 1'* méthode ne peut s'employer pour la raison indiquée cidessus ;

La 2" méthode ne peut pas s'employer non plus , à cause du terme K — a , qui serait imaginaire.

La S"" méthode est applicable , car si les racines de Téquation — a-^-bx-^s? = , n'étaient pas réelles ; le radical serait imaginaire quelque fut x; car on a :

Donc si a>i6*, l'expression — a + *ar — oc* sera négative, quelque soit x. Donc pour que le radical soit réel ^ il faut que l'on ait a<^62, ou que les racines de l'équation

— a-j-6a?— a?=a:* — 6a?-[-a = soient réelles.

Donc, quand a est négatif, ainsi que oi?, la S"* méthode est seule applicable.

!•' Exemple. Rendre rationnelle l'expression

dy = =: .

Par /a 1'* méth. On pose :

j/a+6x + a? =ar — jz , d'où :

2(jg — x)dz 2c/z

Par la 2" méiH. a étant supposé positif, on pose

Ka + ôx+x^ = k^a + XJ5 ; d'où