f-«»55a2k^a»z4-acj2^ f
dx = 2^*^. rfz + z^dx -|- 2xJ2 (fe y
^(y''a+xz)dz ,
rfx — -^ — ,• donc
'i(y^+xz)dz ^dz
dy.
(1— z*)(|/a + xz) ^—^^
Par la 3* mélh. Soient «, /3, les racines réelles de Téquatioa x*-{-6x+a"=-0 ,
on posera
y^a 4- 6x-f-a;' = (x — a)z ; d'où
X— ^ = (x — cc)z* f
dxsssz^dx + 2xj5rfj5 — iazdz ,
2(x— «>ck rfx — 3 — ^4 — ; donc
rfy
2(x— ^)zrfjg 2rfz
(1— z»Xir— «> 1— z*'
2* Exemp. Rendre rationnelle l'expression
rfx rfy= , =.>
Ka + 6x— x«
La l'"" méth. n'est pas applicable.
La 2« mélh. exige que l'on ait a>0, cela étant, on fera :
l/a+6x — x« = j/"a + xz , d'où :
a + 6x — x« « a+2Kâ".xz + a?z^ ,
6 —X « 2 J/o -z+xz' ,
rfx= — 2|/a •dz — z^dx — "îzxdz ,
, 'î(yiL+xz)dz ^ dx = ^ . . ■ ; donc :
dt *= ^^ — 2rfz
3« Méth. a, fi étant les racines réelles de Téqualion a^ — bx — a «= ,
on posera : |/a + bx — «* »*= (a; — a)x , d*où : 3 — X = fx '^a)z^ ,
& ~2(|jg
3* Probl. Rendre rationnelle , qtimnd cela est possible , la diffé^ rentielle binôme
dy = x«(a4-bx*)^rfx; on suppose m et n entiers et n> 0.
Salut. 1*' Cas. Si m'^l = uk, k étant entier, on posera :
s o + 6a;"«i4 , on trouvera
dy^ 4n« + i3-l(!iîZ^)*-idtt.
^ nb ^ i "^
fn "4" i âL 2« Ca5. Si h t- =«*, * désicnani un nombre entier, on
posera : a + 6a?* « a^ei^ , et Ton trouvera :
Ces deux cas sont les seuls dans lesquels le binôme ci«des8iM peut èlre rendu rationnel.
1®' Exemp. Rendre rationnel le binôme :
ày^'7;%==--^ii-^r^^dx.
On a ICI ■=» s =» — * 9 " faut donc poser, confor-
mément à la règle du 1" Cas ,
ar-»cfa =; — (1 u^y^udu ;
l'* PART. 5
donc dy « —
du
H—uy •
2" Exemp. Rendre rationnelle l'expression
-j xldx
dy'rmxTdx{i — a:') = — ;
il faut donc poser, conformément à la règle du 2^ cas ,
d'où x=(l + w^)-î, et x« = (l + ti'rs
en différentiant celte équation ^ on trouve :
xVx =— u^du(l + tt')— TT.
Gomme on a :
(1— xO""î= (l + t«')-.ti-S il vient :
B. Dérivées et différentielles des ordres supérieurs. a) Des fonctions d^une variable indépendante.
