DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES SUPÉRIEURES DES FONCTIONS SIMPLES
Notations et définitions,
Soit -r-^^Viy on aura -7*-=:— ~-, et l'on écrit, pour abrédx dx dx ^
dx dJhf
^ se nomme le coëflScient différentiel du 2* ordre, et T'x, la déda^
rivée seconde de y == fic.
d — cPu du dx^
Soit encore --y=y,, on aura-^=— j^ — , el Ton écrira, dpr " dx dx ' '
pour abréger :
rf^
— — se nomme le coefficient différentiel du 3* ordre, et P'x, la
dérivée 5' de y *= fx.
De même :
cPy = (Pfx = f 'x • dx*, d^y = d^îx = f "x • rfx» ,
seront les différentielles du 2^ et du 5* ordre de y = fx.
En général -^377 sera le coefficient différentiel du n« ordre ,
f<")x la dérivée n« de y s fx ^ et d*y = ci*f x = f(»>x«fc ,
exprimera la différentielle du n* ordre de la même fonction.
Ces notations font voir que, pour former les dérivées des ordres consécutifs 9 il faut :
V Différentier la dérivée dei 1" ordre y et diviser par dx; le qiuh tient sera la dérivée seconde;
2* Différentier la dérivée seconde, et diviser le résultat par dx ; le quotient sera la dérivée 3^ ; etc.
16* Théor. Soit y ssx'*, fi étant un nombre constant quelconque y je dis que Fon aura :
-)^=^(M-1)...(A.-n+I)x^-% d"(x'*) = /c4(ye4— D... (a^— n4-l)x^— dx".
Démonst. Car on a , par la règle ci-dessus :
etc. , doue
Coroll. 1 . Si ^ «PB n , on a :
îÇP— l*2.3...n.
Si fA est entier et plus petit que n , on a : d\o^)
Coroll. 2. Soit ytt— — 1 , on a :
Soit ytt=*— 5, on a;
rfx- "^ ^ ^ * 2"««t J
CbfvU. 5. Soient wswo+fto; , A<«B6(b:; en posant y=«'',
on aura :
d'uf^
-—- = /«(/«— !)...(/«— «+!)«''-"; donc
Exemp. Chercher les valeurs des expressions : d\ î-7^) d'i î-^=-)
(fie" ' dar"
On a :
x-f-yK^l (l)»i.2...w
rf»( î )
Coroll. Mais on a :
— i — :;= '^ . - f ' y —V^ ■ . , g , donc
Soit eueort
l, . Ul
ttUTi
pour
abréger
ar
rf'.v
se nomme k ciiëfiicieD: dil
dérivée 3* ùt y = ijc. De même :
seront les différeDûdÉK Éi5ei *'
/iloga)',
Si m = — i , on a :
(— l)"a-*(logfl)\
rfa:" Si a«^é?, on a loga = l , donc
, „ =î/ine*. Soit mas 1 , on a :
— : = e . Soit m =; — 1 , on a :
18' Théor. Soit y=Logx , je dis que l'on aura :
d" Logx i ^ (^1)^-M>2...(n-1)
dx" log a * x*" '
d° Log X = ' -^ ' îi : dx".
° log a X"
Démonst. On a , en effet :
dy 11.
-7- = -z • — : donc :
dx log a X
fy 1 ^ ^x^ f ^ (— 1)°-M>2.,. (n — 1)
dx** Jog a dûi^~-^ log a x°
Coroll.l, Si a=e, donc loga==l, on trouve:
d'' log X (— 1)°-M.2...(n— 1) rfx" x-^
Coroll. 2. Soit ti= a -f ^^ , 2/ == 'og w , on trouve : jMo^^(-0°-U.2...(«-i) ^^^^^,
du" n"" '
r/°log(a + 6x) (— l)n-il .2 ... (n-l)6'^ dx» "" (rt + ôx)*^
19* Théor. Soit y = sinx, je dis que
d°(sinx) . , 11^ , N
Démonst, Car on a successivement :
— - = cos X s= sin (-^ + x) .
dx ^ 2 • ' '
-4-=: -eos x=. sin ( -^4-^) y
^=sinx = sin(— +x),
etc., donc
d°(sinx) . /Wt , .
1. Rem. Soitn = 4r, 4r+l, 4r+2, ir-f-S, ) on aura évir s: , 1 , 2 , etc. j demmenl :
d**" sin X
dx*"; (/♦*+* sin X
: sin X ,
- s= cos X .
d**+« sin X
dx^T d*"^^ sin X
= — sin X,
