DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES SUPÉRIEURES DES FONCTIONS COMPOSÉES
20* Théor. Soit y = afX + b\px = oj) -J- b;^, on aura :
Exemp. Soit y = — = 1 , on aura :
dx^ 2a dx* ^ 2a dx'
21* Théor. Soient ye=^x.^x=^.»p,
dx- * ' dx" ^ ' /« «(t« que l'on aura :
d-(,>)= fd";/,+ndj..d»-«./. + ?T d'f.dPS> -f etc. + i//.*,. Détnonst. On a , par des différentiations consécutives :
dx- ^ dx^^ dx dx^^ dx^ ^^ f^fH^'f'H^f y
dx^ ""^rfx»"^ dx*ck« rfx«' rfx"*"* dx»
Donc^ en généralisant, on a les formules du théorème. 22' Théor. Soit y=yX , ye diè que Von aura :
+(l)n-.i.n^(x+dx) + (-l)>x.
Démonst. En effet j si Ton change , dans cette expression , x en a^-fdxy et que l'on retranche du résultat la fonction primitive, la formule précédente subsistera pour le n-\-V ordre, puisque Ton trouve :
ijp'^^^x= f(x + n+ldx) — ^(rr+nrfx)
etc., + (-l)^-'-Y'?(^+2dx)-(-l)-'^y(x + rfx)
+ (-l)>(x + rfx)-(-l)>x
+ ^ ^^ ?(x + n-1 (fo) - etc.
Or, la formule est vraie pour n=sl , car on a dya?=ay(aî+rfx) — » f X , donc elle est vraie pour n = 2 , 3 , etc.
!«' £a?e7wp. Soit î/ = sécx, d'où î/cosx = 1, on aura :
d"(t/cosx) ^ , r . I
■ ^^ , ^ — =0, doncenfesant ?=.y, *««cosx, on aura par
le 21* théorème :
, n(n— l)(n— 2) cf'^-sy
* 1.2*3 dac°-3
D'où Ton tire :
d-y d°sécx . ^( cP-V n(n— l)(n — 2) ^^^-^ , ^^^ 1
n(n— 1 cft-»y n(n— l)(n— 2)(n— 5) rf'^-^y .
^ 1.2 dx'"^~ 1.2.5.4 da;^-*'^'^^*
T. /^ ^ dséc dy sinx
Pour n = 2, 3 , etc. —, — ==* -:r-== » on a :
dx dx cos^x
dx^ dx^ ^ dx^^ ^ cos^x ^ cos« '
— ^= == isx ?3— ^ — t/ >+3— , etc.
da» rfx» ^ \ dx^ ^)^ dx'
2* Exemp. Soit ys=tg oc , donc y cosa: = sîn x , on Iroave, en opérant comme ci-dessus :
dj- COS. +^«"^^^- 1.2.3 d^+^^^'3 n(n— 1) d°-^y n(n~-l)(n— 2)(n^3) d'-^y "^ 1.2 dx-^"^ 1.2.3.4 d^-*"^^'^*
dy 1 11
3* Exemp. Soit y =s arc sin . a? , — = ■ —
On..,., ^ '-''-'' "<+' ■
Donc, en fesant « = — ^ ^ = — , et en ayant éiçard
à la formule
Kti (l-')M.3...(2u— 1)
du" 2".tt'*+^ '
on trouve :
cftiarcsin-a; 1.5...(2n— t) („ , (l+it)'>-^(1 — a:)
4' Exçmp. Soient y=arclg«a!, — -= ^ , on aura î
Or, si dans le corollaire de l'exemple du ihéor. 16*, on fait y = 1 ; on trouve finalement :
6.) Différentielles et dirivies supérieures des fonctions " d'une seule variabk 4^)endante*
as** Théob. Soient y=sfx,x=î»v, v étant la variable indépendante^ et par conséquent x une variable dépendante , dçnt y est fonction , je dis que l'on aura :
d«y^jd*y^ dx dy £x dv»"^ dx* ^3y^'^dx* dv»'
dv'^^S^'^IÎv^ "^ 3v dv» dx*"^dx dv» '
dv* ' dx*^3hJ^ ^ dx»\dy-' \^v?>^^ d»y.dxd»x , ,.d«x.,^ . dyd*x
Démonst. Comme on a ^ par le théor. 18" :
dy dy dx
dv dx dv'
V on aura, en prenant lep dérivées des deux membre» par rapport à v :
dy ^dy^ dx
dv dx dx^ dv dy
dv dv dv dv dx *
Mais on a , conformément aux notations abrégées des dérivées et des différentielles supérieures :
dv d?y dy d^y dx d^y dx
-j — '^Tlt dy^~j-Tdx; donc — r— — tTT"»
dv dv^' dx dx^ dv da? dv
dx
dv d^x — — - = -pr ; donc Fégalité ci-dessus devient : dv dv^^ ^
d^^ dx ,^^dy dv* da?^^dv^ * rfv»* dx' 2* En prenant les dérivées par rapport à t;, dans les deux membres de cette dernière équation, on aura la suivante :
JPy ^ dC—Y rf£î
dt^ da^ /^yr gy . dv^' d^ d^
dv " dv *^dr^ "*" rfx» ' dv "^ dv * dx
d^ d^x dx
"*" dt? ' dv ' Mais on a :
dv^ d^y ,cPy d^y ^ , doi? d^y dx
—;; — ~ TTy ^T:1 = 'y^dx; donc —i — =.---.
dv rft?' ' dx* dx» dv dx* dv '
dr dv dv dt?/ dv dx* dv *
DonC; en substituant, et en réduisant, on trouvera :
dv» " cte» ^ dt;^ "*" dt? * dt;* dx* ""^ dx * dt;* * ^^^
S*" Gomme on a :
rfy» d*y dv dv
dv dv ^dv' ~dx* dv
^dv * dv^ * dx^ dx d'x dx* dx d*y dv^
dx d?x d^y dv
dv dv dv"" dv dv dx* dv
dx dv^ ^ dx d^x dy dv^
dv dv d^v "^ dx * dv ^
on trouvera aisément la 3" des équations (a) ^ en prenant les dérivées de tous les termes de Féquation (a).
d^y d^y Exemp. On demande —, vr ; quand on donne y — oc'* ,
On a :
fffy» /ff)' d^X
^:=^nb^-\ —=n(n—i)bv-'\ =n(n— l)(n— 2)6t;^». On a donc^ par la i'" des formules (a) :
= ix[f^-'i)n^b%a + bv'')f^^v^-^'\'fin{n—i)b{a+bv'')f-^f^-K La 2'^'' des formules (a) donnera ensuite :
•j^ == fi{fi^— 1) (/c«2)x^« . n»6»t;«^-8 + Znbv^"^ • n(n — 4)6t;»-2
= ^(^— i)Cc«— 2)n»6'(a+6î^)'*~*t^'"'""'
24' Théor. Soit y=»f(x), x=.,v, v étant la variable indèpenékitUe je dit que l'on aura :
dy dy dv "dx "^"dT' dv d«y dx dy^^ d*x d«y dv^* dv ~dv* dv'
t'^) Vd? ^ , dx .3
d^v d^^ dv ^ ■" dv« dv dv« ''" dv ^ dv» ^ d v dv dv^
dx^ /!îi^5
^dv^ etc.
Démonst Poar déipootrer ces formules i) suffirait ée résoudre
d'y d^y les équations (a) par rapport à j^, ^, etc.; mais on peut y
parvenir directement, de cette manière :
dy dy dy dv
ona: 1* "S^^^^ = "S" *
2* Prenons les dérivées des deux membres de eetie équation par rtçport à.oj, on aura succepsivemçni : .
iÂt/ .^ d^
'^^l^f dx° dv isl dv
^7Z l-^A li}' dv <t*> àv
dx
dx
dv
ou
Kx dx j (—-y
dx rf;y__^,£f dty 1^' dv dv' dv-
^ dv^
3*" En prenant la dérivée , par rapport à x , dans les deiix membres de cette nouvelle équation , nous aurons :
dx d}y dy à*x I l ix rf'.V dy d'x J
dv dv^ \ ,1 dv dv^ dv rft?M
/ dx £y j dv dv^
d{ ' — -) d{' ; ->:rf(;
dx- ' ^dv^ 1 f ^dv^
dx dx dx
dv dv
En effeetuant les dérivation^ , par les formules relatives aux dérivées des produits, des quotients , et des puissances > on trouve successivement :
\dv* dù^ dv\v^) dx ^ ^dv (dx d^ dp d^x"^
fy^^^ dv '^rfiJ-^"^ dv ( AT* rfï^~dîJ"rft^}
dx^ """^ ' dx ~
'^ dv^
^dt^ df^"^ dv' d?~di^* dtf *7Â7^"3o ^dv^^'di^ dPv~dv*di^]
dv'
^ .Ap 2 ^d^y dx d^ , a dy fd?x dy ^ d^x
dv^^dv^~ d^'A^'à^'^ 'J^^dt?^ ~'dv dv d^
^dv^
\^ Rem. Si l'équation x«?t; n'était pas donnée, et que Ton sut seulement que x est dépendant dans l'équation primitive j^afx, alors en supprimant le dénominateur dv dans les formules (6), on obtiendrait :
^dy^ *L dx dx ' V d^ydx — dyd^x d^y dy d^
(c)p ^' ^-d^'dx^'
\d^y d^yda^— 5^dxd^x + 5rfy(d^xy-T dy dxd^x ' dx' dx^
d^y dy d}x y^^dy #x d*y ^x "^SJ"^ dx* dx^"^ '-dxdïx~dx* ^ ePx *
Les V* membres de ces formules sont alors ce que deviennent
les dérivées -7-, -4-, ~, etc., lorsque x cesse d'élre indé-
dx dot? dx^ ^
pendant. On obtiendrait les formules (c) directement ^ en différen-
tiant l'équation -j- = ^ plusieurs fois de suite , et en considérant tous les termes des seconds membres consécutifs comme variables.
2"' Rem. Si Ton avait deux équations telles que y=^(«), xs=^[v)f l'élimination de v conduirait à une relation de la forme y=f(a:). Or l'on voit, qu'au moyen des équations (6), on pourra obtenir les dérivées 1", 2% 3% etc., de la fonction î{x), sans connaître cette fonction, ce qui arriverait , par exemple, si l'élimination de V n'était pas praticable.
Exemple. Soient yaat?— rsin — , a=r — rcos — , en élimi-
nant v on aurait une relation y=sfx, entre x et y, on demande les
dérivées 1" et 2* de la fonction inconnue fx. On a ici :
dy . V d^y i , V dx , V
■T- = 1 — cos — , --4 = — sm — , -3-= sm — , dv r ' dv^ r r dv r
dhc 1 V
-— = -, cos — ; dtr r r
on a donc , par les deux premières des formules (6) :
i — cos — ., 1— cos —
^ = iI = Px - fl^^^V'x^ -.
dx dx , V ^ do(? «far* - , ^ '
sm ^ ' rsm" —
25' Théor. Soii y=fx, y étant la variable indépendante , je dis qtie l'on aura :
dx 1
(rf)
dy
dy dx ' d»y
dx»
dy«
''dx'
dy.
dx
dx»
dy»"
dy dx
DêmonsL Car de Téquation -^« .;^«. 1 on déduit :
dx
T En prenant les dérivées par rapport à y, cette équation nous donnera :
rfy ( dx ) \dx} dx ^ da^
3* Prenons de nouveau la dérivée par rapport à y de cette dernière équation , il viendra :
éPy
JΫ-^
dx dx
dy ^g da? dx d?y
^ dx '^ dx dx dx* .
^dx^ d»f; ^ efa!»'' dx* dx
Exemple. Soient y=t? — rsîn — , x=»r — r cos — , on demande
da? d*x ^'^ les valeurs des coefficients différentiels -r- 9 -rr 9 di/' > en re-
dy dy* ^ ^
gardant y comme la variable indépendante. En éliminant 1; entre les proposées, on aurait une relation telle que y=f(x)y d'où l'on
, etc.
déduirait âp=s^(y); équation qui, si elle était connue, nous donnerait immédiatement les dérivées cherchées. Il faut donc faire » comme Ton voit, le calcul de ces dérivées sans connaître les équations y«=fa;, ^ = ?(»)• A cet effet y on trouve d*abord :
-i-=al— cos— , -j^^ — sm — , --^=— cos-, eic. dv r dv^ r r ^ dv^ r' r
dx . V d*x 1 V d^x r r
dv r dv' V r iv^ rv'
Par les formules (6) on a :
dy M ^
^ 1 — cos —
dx dv . V '
-7- sm —
dx r
1 — cos — d^^ ^
dx* , , V
r sm' —
dy'
(1— 2cos— Vl-cos-)
r* sm* — r
Les formules (d) donnent ensuite
dx i r
-r- 1— cos—
dx r
^ r(l-cos-)«
5— r(I— 2cos— ) rsin— (1 — cos—)'
— sise* Théor> Soit xtsaf(y), x étant ta variable indépendante, je dis que l'on aura :
EL JL
dx "° <ix *
I d»y dy»
(e)<dr*^~ dx '
d»y ^ dy»^ dy» dy ^^^ ^ dy^
Démonsf. Il suffira de changer dans les formules (^)» y en â;, et X en 2^; les formules (e) ne diffèrent pas, quant au fond , des formules (rf).
Exemp^ On donne l'équation x == arc sin y j on demande les
dy dhi d*y dérivées -^j t^, ^^ lan» résoudre la proposée par rap^
port à y.
De réquation donnée on déduit :
dx i d*x y
dy^l^f^%' dy^~ (l-a«)KÏI^* ' d^x 2g«+l
les dM-fiMiles {e) fioQs donnent maintenant :
«te ~
