VT

rfx»

Ki-

Ces

rcsulluU

se vérifient

aisément, car

proposée

donne

ffassinx;

don« -iL — cos a ■=» K I — sin^x «=■ |/l — y* , ox

^ — sinx y,

d»y cos»x — (I— sîn'x) t/*— 1

dac» coso; V^l — sin'a: |/l— j/'*

L'usage le plus fréquent des formules de ce %^ se rapporte au changement de la variable indépendante dans les formules diffé* rentielles qui ne sont relatives qu'à des fonctions d'une seule variable indépendante.

CHANGEMENT DE LA VARIABLE INDÉPENDANTE DANS LES EXPRESSIONS DIF- FÉRENTIELLES PROVENANT d'dNE FONCTION PRIMITIVE d'uNE SEULE VARIABLE INDÉPENDANTE.

La relation entre la nouvelle et l'ancienne variable indépendante peut être donnée sous forme finie ^ ou par une équation différentielle^ elle peut être simplement sous-entendue; de là plusieurs caS; que nous traiterons en autant de problèmes séparés.

1" Problême. Étant donnée une expression

dans laquelle x est la variable indépendante y on demande l'exprèssùm transformée ¥^ , dans laquelle v serait la variable indépendante; la relation entre x et \ est donnée sous forme finie y ou simplement sous-entendue.

Solut. 1* Si la relation entre x et v est donnée sous la forme

dx d*x d^y x=: ft?, on formera les dérivées —, —, -g- , etc. , qu'on

introduira dans les équations (6), puis on remplacera dans F, les

du d'v ^'y coefficients différentiels ^, -^, -^j etc. par leurs valeurs

que donnent les équations (i) \ on aura ainsi :

d*y dx dy d*x dv* dv dv dv*

etc. )

dx '

dy^

2* Si la relation entre a; et t; n'est pas donnée , et que l'on sache seulement que x doit être changé en une variable dépendante , il faudrait remplacer dans l'expression F^ les coefficients différentiels par leurs valeurs, que donnent les formules (c).

1** Exemp. D'une équation primitive y=fx, non donnée^ on a déduit l'expression

â? étant indépendant^ on demande ce que devient F quand v devient la variable indépendante, v étant lié à x par une équation donnée x = fV.

On trouve :

dv'^ dv

Si la relation x=çv n'était pas donnée, on aurait :

d*y dy d*x dx* dx dx*

T Exemp. Dans Véqmtion

F = ^ + 2y ^+ séc'x == , dx' dx

X est la variable indépendante; que devient F, quand v=tgx de-

vient la variable indépendante ?

On a V =s tg x, 4 + «• =- séc X.

dx 1 d*x 2t?

x-arctgt., -jj^-q^., ^ (ï+^'

donc ^j^<iy[^-r^'f dv^

£y.M+t?)!+Mi+''^ dx

l'hypothèse ou, « „ différentiels -ji» 5?'

pendante. ucct \es coeffic^"^' ^'" "*

Solur. 11 ta«^'» '^"^^' d. ^, etc., que «o^'"

«leurs en fonction de ^. dt/ etc. par leurs valeurs ,^„„era :

nissent les équations (e), ^^

**» . ion primitive y*' .nf sid'uneequau r ^^jj

^"cïy «=.{x,ti étant te

l*» Exemp. L'expression F= — —JL — , y étant indépen-

dant, devient ¥^= -^ , quand x est indépen*

dant.

2« Exemp. Dans l'expression

P=a? ^ + ( v^)»— $ = , X est la variable indépendante ,

dv? dx^ Qx '^ '

chercher ce que devient F quand y devieni la variable indépendante.

On a :

F.«:— x-f- + -3 -3-=0; donc

3* Pbobl. L'expression

<9 été o6(entie efi supposant x variable indépendante , transformer w:elte expression en une autre F, qui conviendrait à Phypothèse^ oit V serait la nouvelle variable indépendante, v étant liéàx, par une ^tuUion différentielle donnée , de la forme

dv^=f*dx, ç étant une fonction de x et de y,

du éPu Solut. On remplacera les dérivées jf-^^j etc. par leur» valeurs (c)y puis on déduira de l'équation dv=^fdx, par des diffé-

d^x d^x i*entiations consécutives , les valeurs des rapports "j^ , — ^ , etc.,

qu*on substituera dans Texpressioe proposée.

i" Exemp. On donne

F = ^ , X étant la variable indépen-

dante, que devient F, quand v , donné par

(I) dv=^dx*yi+p^ , jt)=:-p., devient la variable indé-

pendante.

Gomme v est la variable indépendante, on a ---«ssi , donc

dv d ""^

dv ^ 1 ddv ^

— -- = , donc — 7- = 0.

dv dv

Par conséquent, si nous différentions l'équation (1) , en regardant dx comme variable, et dv comme constant, nous aurons :

d'x ^ dx ^ . dp d'y

-^— = — .-— -T . Soit --- = g = — ^ , on aura

dx* i'+p* dx ^ dx'^

d'x pq

; . Donc , à cause des formules (c) :

dx^ 1-f-p'

d'y dy d^x dx^ dx dx*

2» JFacemp. On donne F — a-4 + 6-p+ cy==«0, « étant la

uX uJlf

variable indépendante, trouver ce que devient F, quand v devient la variable indépendante , on a l'équation

dv = ydx.

De cette équation on déduit :

= yd*x + dxdy ; d'où

^—y'^ p en posant p== ^.

On aura, par conséquent :

Soit ^^È.=q donc dx* <fo ^ '

Théoiémcs db Tatlor et de Maclaurin pour les fonctions d'une seule yariarle»

THËOEdbŒ DE TAILM.

Soit X une variable quelconque réelle ou imaginaire, h un accroissement quelconque, réel ou imaginaire, si aucune des fonctions fx, Px, ... f">x , ne devient 5, pendant que x parcourt, d'une manière continue, Fintervalle depuis x^^^x 9 jusqu^â x=x + h, je dis que Von aura , pour cet intervalle :

f(x + h)-.fx + fx.h+rx.^^ + rx.^ + fitc.

Démonst. On a identiquement, et par le 1* Théor. des notions préliminaires :

= {x+hU(x + i)h), 0<9<*-

f,(a;+eA) = f,a: + /ij -^ -^ 1

= f.x + hU(x+ e,A) , <ex<i .

U{x -f e,A) = Ux + h\ — ^ -r^ (

= f,x+Af3(x+e,A) , 0<ô. <1.

elc. etc.

En substituant la 2'^'' de ces équations dans la l'"*^ la S"" dans le résultat de celte substitution ^ et ainsi consécutivement^ on aura les valeurs successives :

f(x+A) — fo + Af,(x+eA)

« faî+Af,a;+A'f,(«+ e,A)

« fac + AftX+A»faa;+A^f3(«+eaA.

elc.

= fa? + hUx+ A«f,x + A^fsx + ...

+ A^-lfn.iX + A»fn(x+en-iA). (I)

Pour déterminer les fonctions inconnues f.x , faX , etc., prenons les dérivées consécutives par rapport à A de Féquation f(a:+A) = fa: + Af,a:4- h'Ux + A3f3X + A»-if„«iX+A"fnXH-etc., nous aurons successivement :

V(x + A) = f,a? + 2AfaX + Zh^Ux + elc.

+ (n— l)A'»-*fn-ix + wA^-«fnX + etc.

r'(x + A) =- 1.2f,x+2.3Af3X+etc.

+ (n— l)(n— 2)A^-^fn-ix + n(n— l)A^-2f^x+elc. F'(a?+A) = 1.2.3f3X+elc.

+(n— l)(n— 2)(n— 3)A^-*fn-iX + n(n— i)(n— 2)A^fnX+ etc.

etc.

/t'^-%+A)= 1 .2 ... (n— l)fn-ix + 2.3 ... nAfnX+elc.

fi'^Kar+A) — 1 .2.3 ... nfnX + elc.

Pesons dans ces équations A=0, alors, si aucune des quantités

fiX, faXy... fnX ,

ne devient 3 pour aucune valeur de x, comprise entre x et x+ A ,

on aura :

Tx-f.x,

r"a: = 1.2.5f3X, etc.

f(»-%=1.2...(n-l)f»'*, fn« = l«2...nfnaf; (Toù l'on tire :

f P — ^IfL

f'x 1 «Pfa; '*" 1.2 ""1.2 "^S^'

f"a; 1 dïfx

"*" 1.2.3 ""1.2.3 iic» ' etc.

f««-i)x 1 «pr'fx

f„lX =

"1.2. ..(n—1) 1.2...(n— 1) rfoc"-» ' ft")x 1 d'ùc