THÉORÈME GÉNÉRAL DE MAGLAURIN

X désignant une variable quelconque , réelle ou imaginaire y et a une valeur particulière de x , si aucune des fonctions fx , f'x, Px, ...f"x, ne devient ^f pendant que x parcourt, d^une manière continue, l'intervalle depuis x«a , jusqu'à x=x, /e dis que l'on aura , pour cet intervalle :

f (X) - f(a) + (x-a)f a + ^^^=^ fa + etc.

Dénunut. Si, dans la formule de Taylor

on fait z=za, h^x — z, on a la formule ci-dessus. La formule de Taylor exige que les dérivées Vz^V^Zj ...fC^z ne deviennent pas ^ entre zeiz + h; donc dans la formule de Maclaurin les dérivées Pa: , fa? , elc. fHar ne doivent pas se réduire à 5, entre a et X.

Le terme ^•^^=^"-f<'>[a + <ir— a)]=R«,

se nomme le terme complémentaire y ou le reste de la formule gé« nérale de Maclaurin.

Quand la fonction fx est d*une nature telle que Ton a R^s=0 » et que les fonctions fx.Fx, Px, etc.; jusqu'à l'infini ^ ne se réduisent pas à ^y dans l'intervalle de a à x des variations de or, on aura le développement suivant :

fx = f(û) + (~^ r{a) 4- ^^Y^ f\a) + etc. à l'infini ; le second

membre est alors, sous la forme d'une série infinie; la valeur du premier membre.