THÉORÈME PARTICULIER DE HACLAURIN
Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent , si l'on fait, dans la formule de ce théorème, a^^O, on aura la formule particulière de Maclaurin, savoir :
fx=f(0) -f-f (0).a: + f'(0)~ + etc.
Les coefficients
expriment ce que deviennent les fonctions fx,fx,r'a:, etc., lors qu'on y posexsO.
Le terme t-^ f">(«^)*=Rn»
est le terme complémentaire , ou le reste de la formule particulière de Maclaurin.
Si l'on a Jiln'^'O, pour n««oo , ou R^ =0, on a l'équivalence
f(a;) = f(0) + f'(0)x + f"(0). -^ + etc. à l'infini.
Le second membre est alors la valeur du premier membre , présentée sous la forme d'une série infinie.
La formule particulière de Maclaurin exige que les fonctions fxf f'x, etc., f(">ar, ne se réduisent pas h ^ dans l'intervalle de Oàx.
1" Rem. La formule de Taylor, qui renferme celles de Maclaurin comme cas particuliers, subsiste, quelque soient xet A, réels ou imaginaires, attendu qu'elle a été déduite d'une série d'identités. L'on voit donc, que les trois formules conviennent à toutes les hypothèses de x et de h.
2. Rem. Nous pouvons donner au reste Rn , des trois formules , une autre forme, plus convenable dans certaines recherches. A cet effet, soit
En différcntiant , par rapport à a , la formule
(0 f(x) - f(a) + ^ Fa + ^-^^f^' fa + elc.
on aura : = ^'~°^^ IW(«) + r'" )
d ou c'a = — -p-- ^ — . ft°)a ; on a donc aussi :
(2) ç'[a+a{x-a)] ^iz:^!pfZ^V)t«+«(x-«)].
Mais on a , par le 1*^' ihéor. des notions préliminaires ,
çx^^fa + {x — a)f'la'\'a(x^a)] , d'où
fa = fx^(x — a)j)'[a-|-«(a? — a)].
Si dans (1), on fait a = ar, on a pflp«=0 , donc
ça=: — (x — fl)/[a-+a(x — a)]; donc, à cause de (2) :
On a donc, pour le reste de la formule générale de Maclaurin , les deux expressions :
Si a = 0, on a la formule particulière de Maclaurin ^ son reste a par conséquent les formes :
Si l'on change , dans la formule générale de Maclaurin , x en a 4* A; a en X, on reproduit la formule de Taylor , par conséquent le reste de cette formule peut se mettre indifféremment sous Tune ou Tautre de ces deux formes :
3" Rem. La fonction {(x) peut être telle que, pour une valeur particulière x«=a, le développement de f(a+A)r renferme de$ termes irrationnels par rapport h h, ou des termes dans lesquels l'exposant de h est négatif; alors la formule de Taylor ne subsiste plus, et il faut recourir aux développements algébriques.
Exemp. fx =» l^lc + |/^(x— a)* , donne :
f(a+A) = A-« + (a + a/» h'^ + a(i + l ^+*^ ^+ etc.)
Ces cas exceptionnels ne peuvent jamais arriver si aucune des fonctions fx, fx, f'x, etc.,
ne se réduit à 5 , pour x^^a.
De plus , si Tune de ces fonctions devient \, pour xssa, toutes les suivantes se réduiront également à 3.
Car soit /<n</+l, / étant entier, on aura :
f(a+ A) = fa+ Va.h + etc.
<roù :
f(m)(«+A) = ^ÇîL=ilr|^(C)« An.x + etc.
Mais n — /— 1<0, donc yi=»0, donne f<i+»)a«=5. Zxcwip. f«=c4-x + (x— 6)(a;— 0)3; donc
pour a; «=" o, on trouve :
donc f'"a = è> f^'^^«=5> etc., ^ ^
et Ion aura : f(o+A) =c+« + *+(«— ft)*^+ *^-
Soit encore fx = , on a f(a)=5, donc fa^it etc.
|/jî« — ax
= «~A .(1^1^+^. --etc.) = 1(AH ^ *)^+ 1^ (->' + etc.
