NOTATIONS ET DÉFINITIONS
Si dans la fonction u=i{(x,y)f on fait varier x et y, c'est-à-dire toutes les variables, alors
du — f{x+dx, y + dy)~ f(jr,y) , se nomme la différentielle totale de la fonction proposée; il en sera de méme^ si la fonction u est composée d'un nombre quelconque de variables; pourvu qu'on les fasse varier toutes, du exprimera toujours la differentietie totale.
Si dans la fonction u=i{{x,y)y on ne fait varier que l'une des deux variables, alors les dérivées
du ^ f(x-frfx,y) — f(x,y) du f (ar, y+dy)^ {{x.y) ax dx * dy dy '
se nomment les dirioées partielles de u , prises respectivement par rapport à x et h y. Il en sera de même pour les fonctions de plus de deux variables ; pourvu que l'on ne laisse pas varier toutes les variables.
Nous désignerons avec Euler les dérivées partielles par des parenthèses , et nous écrirons :
.du {{x+dx,y)^r{x,y) ,du^ t(x,y+dy) ^{(x,y) ^dx^~ dx '^dy^ dy
Exemp. Soit ti = aa;»y* + 6'acy, on aura les dérivées partielles ( — ) = 2aa;j/« + ^'V > ^T")^ 2ax»y -j- 6«a:.
En multipliant les dérivées partielles par les différentielles de leurs variables, on obtient les différentielles partielles. Donc, si la fonction est ti=f(x,y)9 ses différentielles partielles seront respectivement :
que Ton désigne aussi par d^u^djU.
Rem. Si x doit varier seul, alors y est constant , donc t^ «= 0.
dx Si y doit varier seul , alors x est constant ^ et par conséquent dx
dy
26* Théor. La différentielle totale d^une fonction u==f(x,y,z...), à plusieurs variables indépendantes y est égale à la somme de toutes ses différentielles partielles j prises par rapport à chacune de ses variables, savoir :
du = dxU 4- dyU + dsU -{- ...
Démonst. ^o\iu = f[Xyy,z) ^ on aura :
dM=;f{a;4-(/x,y+dj/,z + dz) — f{x,2/,z) , Soient maintenant :
ti^ = f(x+dx,y,z), i/, = f(x + dx,y4-(/j/,2), t/5=f(x+d«,y+rfy,5: -j-dz) ; donc du « t/j — u.
r* PART. 9
Mais on a (par le coroU. 2 de la règle fondamentale des no préliminaires ]r :
D*un autre côté, on a par la règle fondamentale , et en diff( tiant les équations précédentes :
dyUi = rfyti 4- dydjU =a dyU , donc rf^w, « d^u ;
d,t/, = (faW j + rfzCfyt<4 = dzU^ = dzU .
Donc y les équations ci-dessus deviennent :
t/, = U| -)- djU ,
En les ajoutant et réduisant, on trouve :
t/g =s u + dztf + dyti-j-cfzW.
Donc t/j — ti=rfu=(6:t<4-rfyW + rfzW,
CorolL L'équation
donne les trois dérivées totales :
dx ^dx^^^dy^ dz^^dz^ux' dy^^dx^ dy'^Uy^^^dz^ dy '
dz~^dx^ dz^^dy^ dz^^dz^'
Si X doit seul varier, alors -^ = 0, — = , et la
dx dx '
équations donnera
du ^ d«« X
ou la dérivée partielle par rapport à x.
Si y doit varier seul , alors on a — = , — =
dy dy
des équations ci-dessus se réduit à
du du
dy~^Ty^' ,
ou à la dérivation partielle par rapport à y.
Enfin si z est seul variable , on a
^^ ^ dy ^
et la 3"''' des équations ci-dessus deviendra du du
ce qui est la dérivée partielle de u par rapport à z. Exemp. Soit w==aacz»4-6yx'+czy% on aura :
(j-) = az'+26î/x,(ji)=6x'+2czt^,(^)-2(wcz4-cî/^;
donc
du = (az» + 3ibyx)dx + (6x» + ^czy)dy + (2axz + cy^)dx .
