RÈGLE GÉNÉRALE

Pour trouver la différentielle d'une fonction de plusieurs variables dépendantes x , y, z , etc., il faut :

1) Différentier les équations, principale ^ et secondaires ,

2) Substituer dans la différentielle de Téquation principale , fc* t?a-

leurs cfe dx, de dy, de dz, etc., données par les différentielles des équations secondaires, et ordonner le résultat par rapport aux différentielles des variables indépendantes.

!«' Probl. Soit u = f(x,y), x=î)(l), y^-i/^t, trouver du

du et — .

Solut. On a: du=^[^)dx + (^)dy , dx dy

dx dv

dx ^ -—dt^fU^dt y dy:^^dt'»4fU*dt; dt dt

du du f^ , /*Î^N f^

dt ~^dx^ dt '^^dy^ dt'

2* Pbobl. 5oienf u-»f(x,y), x=j.(v,0> y=»'/'(v,i),

. , du . , du .

trouver du,(~), (•^).

5o/«f. On a : du^(^) dx-\-{^)dy ;

5« Probl. Soient u = f(x,y), u e^y étant les variables indépendantes, trouver dx; (t-)> (-r)* du ^ ^ dy ^

Salut. De Téquation u^î(x,y), on tire par la différentiation :

Divisons celte équation respectivement par du et dy, on aura :

^ = 1 = r— ^ — Jr.(—\ÙL du ^dx^ du '^^dy^ du '

du ^ rfa dx f ^^^x

Mais si Ton prend la dérivée par rapport à u seul , alors y est constant , donc --p ==- , et alors la première de ces équations

devient: 1=()(); dou : (^)== — Si l'on prend la dérivée par rapport à y seul , alors u est cons-

devient :

"='^^>(^>+^-^>'^^"= ^^^ — -dû--

Or X étant fonction de u et de y on a :

dx^(^)du+('^)d!,.

dx dx

Donc , en substituant à la place des coefficients (-j-) , ( j^ ) ?

leurs valeurs ci-dessus , on aura :

dx = —- — 'du f— 'dy,

Les coefficients (-r-)» (-;-) j se déduisent immédiatement de ^dy ^ dx '

la proposée «= f(x,y).

Exemp. On donne «■=**y+fla;y% a; étant la variable princi-

djc (fûc pale, chercher dx, (-7-)? (;7"); sans résoudre la proposée par

rapport à x.

On a ici :

(^) = 2xy + ay«, (-^) — x* + 2a^l// donc

Wm^ "" 2xy+flî^* ' ^ dy^~ ^xy+ay* '

du'—(x^+^aocy)dy

par conséquent : c/x — ; ■ ^-^ .

^ ^ 2xy+ay'

4' Probl. Soient u = f(x,y, z) , x=^(v,l) , y =»/^(v, t) , z«|(v, l) ,

,du^ du^ trouver du, (),(—).

5o/i#(. Ona: du^(^)dx+{^)dy + {^)dz, dx dx

flfe dz

5« Probl. Soit u=f(x,y,z), \ étant la variable principale ,

, dx, .dx^ dx.

trouver dx,(-),(^),(^),

sans résoudre la proposée par rapport à x.

Solut. De la proposée on déduit :

d'où , en divisant par du, dy ^ dz ,

du~ ^dx^ du'^^dy^ dx'^^dz' du' dy~^d^^dy'^^'dy^'^^dz^ dy'

dz ^dx^ dz ^dy^ dz '^^dz''

V Siu varie seul • alors -— devient ( -7-) > et l'on aura -i- =0 , . 'du ""du du '

du Donc la première des équations précédentes donnera :

^ du' du ^dx'

2» Si « varie seul , alors — devient ( — ) , et Ion a i- "0 ,

dz ^. ^y ^y

— •=> ; la seconde des équations ci-dessus fournira :

^ .du.dx^ du^ , dx ^dy '

^dx'^ dy ^Uy" ^ dy' dw

^ dx^

T /\ j 1 ^ r^^\ du ■ du ^

3« Quand z varie seul , on a : —«(—.), ---=:0,— = 0:

dz dz dz dz

et la troisième équation ci-dessus se changera en

idu dx du dx. ^dz^

" = 'tol(^'+'3l)' """' l^) TXT-

Mais * étant fonction de y, z, u , on a :

rfx=(^)du-|-(^)dî/ + i-^y^^i donc

B.) Déf-ivées et différentielles des Ordres supérieurs. a.)t De5 fonctions de plusieurs variables indépendantes.

Notations et définitions^

Soit u=t(x^yy ...), il est clair que les dérivée partielles ( — ),

du ^

i T") > ^^^v seront, comme u, des fonctions de x,2^, ... On pourra

dy donc prendre les dérivées partielles de ces dernières expressions

aussi bien que de la fonction u.

iles nouvelles dérivées partielles seront du second ordre ; et se

marquent ainsi :

^ dx ^~^d^^' ^ dy ^ ^ dxUy^'

Les dérivées du second ordre, étant en général des fonctions de x,y, ... aussi bien que la fonction primitive, on pourra également prendre les dérivées partielles des dérivées partielles du second ordre; on aura ainsi les dérivées partielles du troisième ordre, qu'on écrit de cette manière :

^ dx ^ '^ d'« ^ '/ dy ^ ^ dxd*y '*

' ^ dxdy ^ dht ^ dxdy -* dhi

^ dx '~^dx\dy >' ^ dy ^ ^ dxdy^ ''

^ dx ' ^dy*dx^'^ dy ' ^dyi^' et ainsi de suite, pour les ordres plus élevés.

Il suit de là que les différentielles partielles du second ordre sont indiquées par

i^)dt=.d^,u,

Celles du troisième ordre seront désignées par d}u

dy^

SS*» Théor. Soit u = f (X , y) , je dis que Von a :

du ^ ^" \

dy ~ dx ' ^" ^ dxdy '^^dydx'*

jyémùMt. On Q; en effet :

changeons ici y en y + dy, et retranchons du résultat la formule

précédente , on aura :

^^TJ^ d'u

^y dy = (-^)^^y = f{^+*;, y+%) - f(x,y+dy)

— f (a: + dx, y) + f (x, y). («

2* On a aussi :

du ( •j^)dy'^Hx,y + dy)-f(x,y);

changeons ici x en xJ^dx,ei retranchon» cette dernière formule du résultat , on aura :

^dy^ ^ d*u

Les seconds membres des formules (^ et {fi , étant égaux , on en conclut :

Coroll. On déduit de cette relation successivement les suivantes :

dx ~ rfx ' ^" ^ tfarrfy ■^"^dydx^ ^'

^ dy^dx ^ ^ dydx^^ du^ ,, d^u ^

d^ - d^ ' ^" ^Â?^^-^"*^^' et en général :

^ dx^dy^^"^^ dy'^dofi^'

Il en sera de même pour des fonctions de plus de deux variables, c'est-à-dire qu'il est indifférent dans quel ordre on forme les dérivées partielles consécutives d'une fonction par rapport aux mêmes variables.

29* Théor. Sait u = f (x , y) vne fonction de deux variables indépendantes x , y , je dis que Von aura :

^ ' ^ dx" ^ ^ ^ dx^^-^dy ^ ^

OU symboliquement :

d°u = ( — .dx + --— •dy)"u.

^ (IX dy -^ '

Démonst. En effet, si nous différentions de nouveau la formule

d^u cCti

(1), en considérant les coefficients ( -r— ), (t -^t)^ ^^-j com-

dx^ ax^^My

me des fonctions de x et de y, on aura :

Comme la difierentielle d'^^^u subit la même loi de formation que la différentielle d^u, il est clair que, si celle-ci est vraie dans uncasyoupourn^p^ellesera vraie pour n— /i4"*>P+2, etc., mais elle subsiste pour n^i, puisqu'on a

-T /du^. , ydu.^ , d j , d .

du=i('-r')dx + (-7-)a2/-"( t" •«» + -r^^dyy . ^ dx ^ ^^dy^ ^ ^ dx ^ dy ^^ ^

donc elle est vraie pour n=2; 3^ 4, etc.

Coroïl. Si u=«f(j:,y,z, ...) on trouve aisément par induction^ la formule symbolique :

^dx dx ^ dz * '

b) Dérivées et différentielles supérieurs des fonctions de plusieurs variables dépendantes.

= f(x,y), x = ?V, y—\pw, l'on aura :

^dx* ^^ dv'' ^^dxiiy ^ dv dv^^dy«^^"dV^ ^ ^ dx ^ dv* ~ ^ dy ^ dv* '

TaÉon.

Soit u=

dv»"~

dv'

^ dv' dv

- = etc.

Démonst. Car on a :

du du , dj? . du . dy

dv ^ dx^ dv ^ dy' dv'

d^u ^^Tv^ ^ YTx^'Tv] /X^ry'^'Tv]

^onc -— = .-,5 — = ^+-^ — ^3 'j

dv* dv dv ^ dv

dl—) d( — )

«/(;« *" dy * dv "^ dêJ»" ^ dx^'^ dv ' dt; "*" dy* * ^ dy ^ dx dv

dx { d*u dx . d^u .^V), ^^^ ** r d? ^ d5J"^'dJ^^ dtj)"*" dû^^ dâT^

dy ( d'tf dx d^u. dy ) d«,y dw "^ dt; f dydx^ dv'^^ dy* ^ dv]'^ dv* ^^dy'

(£îi ) (^). + 2{ -^)- • ^+ — ( î^ ) ^dx« ^ ^dv^ ^ ^ dxdyUv dv ~ dv* ^ dx '

^^dy*^^dv^ ^ d^ ^ dy^'

etc.

ôr TiiÉoR. Soient u = f(x,y), x = f{r,\), y = ;^(r,v), je dis qu'on aura :

.d'il. ^dr^ ,d»u,, dx^ „, d»ii dx dy

d»u dy du d»x , du d»y

'^'''dy'^^d?'' +^dr''d?'^^d^''dl^' j,du

/ d'u ^dv^ d'n dx d'u . dx dy

^ i\^*^~ dv ~^dx»^^dv^''^^dxdy^dv* dv

^'^dy'^Mv^ ^^ dx^dv'^'^dy^ dV ' d(i V A^., y A« \ ,wf A .1, j\a„ ' Mxdy' ^ dr * dv '^

drdv

■ dx* '^ dr ' ^ dv '

+( d7>%%) + (âT^ ( dFdT^ + ^ dT^^ d?d7^

^^ dxdy'^dv^Mr''

d'il d*u d*u

<''" = (H;:)<''' + lH;:r)dr* + 2(— ^)drdv, etc.

» " ^dv'^"' ' ^ dr Démonst. En effet, on a :

' drdv

du. f^'*\(^'^\u.(^'*\(^y\.

donc

d(—) ^ dr' dr^ ''- "r l w^« ^ w» ■'

dr* dx '

cfy

dv'

rfo ^ dv

dv^ ^' dx

dw dt;

dy '^ de'

JL^(Jl!L)^(^^ ^ dx\ d'x du dv ^drdv' ^ dr' dv "^ drdv^l^'

^^dr' do ^^dvdr^^dy^' Si maintenant on substitue dans ces formules les valeurs

dx^ d'u. dx d'u dy

dr ~^dx^'^dr^'^^dldif^ dP'

dv '^^diê^^ Ib "^^ dxdy^~dv'

dy ^ d'w . . dj d'M dy

dr ^ dydx'^ dr^'''^dr ^^rfr^'

d( — ) '•d//^ ^ d'M . dx d'u dy

do ^dydx'^do'"^^ dy*'^dv^'

on aura les relations du théorème.

A l'aide des trois coefficients différentielles partielles du second ordre, on formera ceux du S"» ordre, en exécutant les développements indiqués par les notations :

d/'llîL-k d(£!L\ Ai—\

£u ^dr' ^ dhi . dr'' d'w "' dv' '

Wr»^*° dr '^dr'dv^~ dv '^drdv''^ dr '

etc., etc.

1" Rem. Soit u.= f(x,y,ï), x cl y étant les variables indépendantes, on demande les dérivées

^-HT'^' <dl^^'<dF>' «'*'•' <dr^)' <d-ïd7>' < dr"^'^"^-

Sotut. Comme z est une fonction de x et de y, si cette fonction est donnée on formera immédiatement leurs dérivées partielles de z par des différentialions consécutives. Ces dérivées étant supposées connues , on différentiera les équations

dx'^^ dx^'^^dz^ dx'

dy ^ dy^'^^dz' dy * ce qui donnera :

d*u ^dx^ dz ^dz'

dx* dx dx dx ' ^ dz' dx*

d*u ^dx\ dz ^ dz^ . .df. d'z

dxdy dy dx dy ^^^dz^ dxdy '

El rfy dz "^dz^ df d^z

dy °^ dy dx dy ^ dz dy' '

En développant les différentiations indiquées, on passera aux

du dx

dérivées partielles en posant rr'^^f T"**^* ^ ^'^^ ^^^^ *

+ <Sx|).

^d^'~^d^'^^dxdz^^dy'^^dzdy'^dx^ d^f .,dz dz . df d^z

^liy^^''^d^'^'^%dz^^dy^^ ^''dzdy^^dy^ ^'^d?^^7^^ ^Uz'W^

2". Rem. Soit u=f(x , y, z), x = «>(r, v, t), y = ;^ (r, v, l) , z = ^(r, V, t) , on aura d'abord :

du ,du dx du dy du dz

( d7) = <d?^^d"r>+(d7^^7k^'^^d?)^dF)'

^d7'^di'^d;^+(d7^<-d;?^+^"d;^^d7^'

du^ ,du dx. , ,du. .dy, , ,du dz

on formera ensuite les dérivées partielles da second ordre , en développant les opérations indiquées par les notations :

^d,»/~ dr ' ^ drdv ^"^ iv * da du V

d^u .__ dr^ d'tf ^^

^ drdr dt ' ^dvdr"^ dt '

d(±) dA

^ dc^^^ dv ' ^di-^~ dt ' et ainsi de suite.