VARIABLES INDÉPENDANTES
Une fonction primitive u=st(x^y,...), dans laquelle x^y,... ont été regardés comme indépendants , a conduit à une relation
on demande de transformer celle-ci en une autre F^ , dans laquelle ryV,...y seraient les variables indépendantes , on suppose qu'entre les anciennes et les nouvelles variables indépendantes, on ait des relations de la forme x=?(r, «,...) , y= »p(r, v,...), etc.
La solutioo de ce problème général exige que Ton sache expri-
mer les dérivées ancienDes
du du fu ^ ^
en fonction des dérivées nouvelles
^l?^'Uv^''''^df<^^'^dtfl^'^drdv^'""
Nous allons donner ces expressions, pour une fonction primitive de deux variables , de la forme :
tt«f(x,y), x^fivyv), y^\l^(r,v).
1" Méthode.
du . du On trouve les valeurs de {--f-j ( 'j^)* ^° résolvant les équations (a) du 31« théorème, par rapport à ces dérivées partielles ; et Ton aura de même les valeurs des coefficients ( v-, )# (rrr) 7
dHi (■ ) ; en résolvant les équations (6) du même théorème par
rapport à ces coefficients. Cependant la méthode suivante, moins simple en théorie , est préférable dans la pratique.
2"« Méthode.
Des équations secondaires x = 9 ( r, t) , y = ^//(r, 1?) , on déduit
En résolvant ces équations par rapport à dr^dv, on en tire des équations de la forme
dr^=aidx -J-* bidy , dv = a^dx + 6ady ; et comme on a aussi
on aura les valeurs
On a donc :
du dit dr du dv. du , ,du
d« dM rfr rf« rf» du ,,du
Quant aux dérivées du second ordre, on aura :
"^ d3?^ ^d3?^^dr''^^ dx^' dx
du
du
, du A( \
dv d^H dr ,i^\,^v . .
On obtiendra 9 par des procédés semblables :
^^dy^'^dv^^^do^'^dy' ' ^ dxdy^ ^dmi^'^ dv' "^ '^ d,^'^ dx'^dy''^^'drdv^\} dy'^dx^
On formera y par des procédés analogues les dérivées des ordres supérieurs au second ordre ^ en fonciion des dérivées des nouvelles variables. La marche serait encore la même ^ s'il s'agissait de plus de deux variables. Appliquons ces règles à quelques exemples.
!•' Exemp. Soit F = ( - — r-) + ( -r— ) t xeiy étant les varia- ^ ^ dxdy ' ^ dy^'^ ^
bles indépendantes , trouver ce que devient F, quand r et v deviennent les nouvelles variables indépendantes, on donne :
xssrcost;, y=rsint;.
Soit Fi, Texpression cherchée, on aura :
- du ^d^r , ,du ( fiv d^v A
Les équations a; = rcost;, j^srsinv, donnent: dx=dr cos v — rsin vdv ,
dy=dr sin t? -|- r cos vdv; d'où Ton tire :
tir //i»
dr = cost;-rfx-4-sin t?»dy = (-— )rfx+ (-::•-) dy ,
dx dy
-sin V cos r , , ^«^ x r • / rf'^ , ,
dv -.dx+ -—.dy={j^)dx+{~)dy.
Donc: (-r-)=cosi;, ( — )s=sint;, ^ dx' dy '
idv sin v , dv . ^ cos v
De ces formules on déduit :
dV dv cos^t; dH r sinSv (^)-cost,-=— , {^)=-^;
- dv ^
Ai I
^ d^v dv cos2t;
rft;' !<'**' cos 2t) -|- sin 2t>
On trouve aisément :
dv dv
On a donc :
cos^v. du. sîn2t; + eos2t;,dM , , . ^ , . ,,epM, ^• = -r^*^> î ()+s.nt(cos«+8.n«)(^)
+ __-(cos«-s,n.)(-) + (-j:- + s.n2t,,(^^).
2' Exemp. On donne
chercher ce que devient F, quand on change de variables indépendantes y à l'aide des relations
X aoB r cos t; 9
y = r sin r cos ^ ,
j2 = rsint?sinf, Soiut, Des relations du l"" ordre :
on déduit les suivantes du ^ ordre :
rff — ■) d*u du d'r . rfr dr du d*v ,
^ cte»'' *• rfr''^dx»^^^<fe' dx ^^dv^^dx*^
.~^^dy' dy '^^ dt'^dy*''^^dy' dy '
di^) ,d*u du d}r dr ydr^ du d*v
du du
^^dz' dz ^^ dt'^é^'^^dz'^ir- 'E.a ajoutant, il vient :
d(l!i) dâL) dA
^dx^ dz ^^dx^ dx ^^dx' dx ^ ,,du j/du . j,du^
^dy^ dy ^"-dy^ dy ^^dy^ dy + j,du jfdu. ^ du.
dz dz dz dz ^ dx dz '
Mais on a :
d(—) ^dr^ d^u dr '^*».JVy. (d*u dt
dx ~^dtdr'^dx^^^dv*^^dx''^Uvdt^^dx^'
elc, eic.
En substituant ces développements dans l'expression précédente de F, on trouvera :
„ ,du ( d'r . , .d'r. , ,d*r.) , ,du.(.d*v. , ,d*v. ,
^dT^^l+^df^l^d^^^^dr^+^dF^ +
2(d;^)î(d7Xdi>^(d^V+(d;-)^dr)| +
^(S){(êxi:)+(:f)(|)+(èxS)|.
^drdy ^ ^ ^ drdt ^ * ^ dvdt ^
Il faut maintenant déterminer les valeurs des coefficients A, B, C, etc., L.
A cet efifet, les équations a;=r cosv, etc., donnent :
dx =c&* cos v — r sin vdv ,
dy=dr sin t; cos f -|- r cos t cos vdv — r sin v sint^dt^
cfc==rfrsini;sin^+rcost?sin^dr + ^sin vcos^df ; d'où l'on lire :
dr es cos v*dx -f- col t sin vdy + sin v sin tdz
dr dr dr
, sin i; , . cos t; cos f , cos vsint , df? = — dx + dy H dz
dt = — : dy -A : — dz
rsmv rsinv
<ff>*+(|)*+(|)''-
Donc :
.du. .dr. . ydr. ,
(7-)=^cost;, (-p-)«cot^sint;, ( -r-)sin vsmr, ^dx^ dy^ dz
.dv sin t? ^ dv cos t? cos f ^^v cos v sin f
^'dx^^ ~' ^dy^'^ r ' ^Iz^^ 7
'(/x dy rsint? ^c/z' rsinv
De ces valeurs on déduit par la différen dation :
,c/V. . dv^ sin'ï? ^d^r ^ dv ^
( 7-r)=sint;(-^) = , (T^) = cos/cost;(— )
^ dx^ dx r dy^ ^ dy
, dt . cosV cos*î; . m\H — sin t; sin t^-—)
dy r
( )=« sin/cost?(-— ) •+ sinr cos/( -r-)=a ' .
^dz^^ ^dz^ ^ dz^ r ~ r
Donc A-(^) + (^^) + (^)=-.
On a ensuite :
On a donc enfin :
CHANGEMENT DES VAUIABLES INDÉPENDANTES DANS LES FONCTIONS SOUS DES SIGNES d'iNTÉGRATION DOUBLES ET MULTIPLES.
1*' Probl. Étant donnée l'intégrale double
F=//f(x,y)dxdy,
da7is laquelle x , y sont les variables indépendantes , chercher ce que devient F, quand les nouvelles variables indépendantes sont ^ et î/ ; on donne les relations
Solut. 1*» En intégrant d'abord par rapport à a?, on devra considérer y comme constant, et par conséquent faire dy = 0. Cela nous donne en différentiant (1) :
IMPART. 12
En éliminant dy , ces équations nous donnent :
2°. L'int^ration par rapport à x étant effectuée, y seul sera variable dans la ^' intégration , on a donc, en regardant $ comme constant ,
On a donc par la multiplication :
donc l'expression cherchée sera :
F.-//f[f(?,.^),'^(t,v)][(^)(^)-(^X^)]rf^<i^- Exemple. Changer l'expression
dans laquelle x^y sont les variables indépendantes, en une autre dans laquelle les nouvelles variables soient r^v^t; on donne les relations :
X = r sinr cosf,
3/ ==rsin V sin ty
j5 = r cos t? .
On a ici :
dx= J( — )sint;cos^ — rsinvsinf \dt +
|( — )sint7Cos/4-rcosvcos^ |</t?, = J(— )sint?sin^ + rsinrcos/ [«//-["
dr . , . , . )
( -p- ) sin V sin ^ + r sin ^ cos r > dv.
dv )
Si Ton substitue dans In première de ces équations pour dv sa valeur tirée de la seconde, on a :
rsint? ,
dx^ ^ dt.
sint
Cherchons la valeur de dy. Pour cela, il faut diflférenlier j^ = rsintisinf^ en regardant t comme constant, ce qui donne :
dy ==sin t \ rcosv-^ (— ■)sint; > dv.
Donc dxdy = — rsinu | rcost;-J-(-r")sint; ^dtdv.
Il nous reste à transformer le radical. A cet effet , on a :
De ces équations on déduit par réliminalion :
dz ^ dt'^dv' ^ dv'^ dt'
^dx^~ dy dx dx dy
^dv'^lt^ ^"d^'^ dt^'
dz dx dz dx
^dv'^dl' ^dv'^dt^
Fesons , pour un moment :
^ dt^^dv^ ^dv^^dt^ ^ ' '^dt^^dv^ ''dt^^dv^ '
^dv^'^dti '^dt'^dv^ ^^'
on aura (-)=,()=;
donc \/l + ( J)' 4- ( ^y = ^ KV*+U' + W».
Mats on a :
, ^ V rfr
( -T-) = r cos V cos r + ( — ) sin t? cos r ,
( •^) = — r sin t; sin < -|- (— ) sm v cos f ,
(-7-)=rcost7sin/+( — )sint?sinf , dv dv
dil dr
( -j-) = r sin t? cos / + (-7- ) sin t' sin < ,
() = ^s.nt,+ (^)cosf, () = (-) cos «; donc :
V=r(— )sin^ -}"'') ^sinr — ( --)cost7 >sin r cos ty
dr ( . dr )
U = — r( — )cos/4"^)''8ini7 — ( — )cost;> sinrsin^ ,
W = — rsint? jrcost; + ( — )sin v | ,
— sin» Jrcos« + (— )costj v Donc, enfin :
Toro//. Soit z = |/r» — x' — y*, r sera constant, donc dr ^ ^ ,dr . „
^rfr)=«'(dT)='«'
et Ton aura : F sssjyr sinv dt du = surface indéfinie d'une sphère en coordonnées polaires.
2"* Probl. Changer l'expression F=///F(x,y,z)dxdydz, en une autre dans laquelle les nouvelles variables soient Ç, j;, Ç; on donne x = f (§, j/ , Ç) , y-= «p(e , ,; , Ç) , z = iM?> V, ?)•
Salut. V La première des trois intégrations successives de F, devant se faire par rapport à x, on devra regarder y et z comme constants. Donc ^ en différentiant les trois dernières équations, dans cette hypothèse , on aura :
Les deux dernières donnent^ par lëlimination , des équations de la forme
En substituant ces valeurs dans la première , on aura, pour dx, une valeur de la forme
dx = — d^.
^ La seconde intégration devant s'effectuer par rapport à y^ il est clair que x^ donc son correspondant ^, et aussi z seront constants. Donc , en différentiant les deux dernières des trois équations secondaires , dans cette hypothèse, on trouvera :
La dernière donne dÇ = -"--c/Ç; en portant cette va-
leur dans la première, on trouve :
dy —cl,.
5* La troisième intégration se faisant par rapport à z , il est clair que X , y, donc t , v , seront constants. On a donc , par la 3"" des équations secondaires
Donc :
dxdydz == Md^dijd^ ; par conséquent
Exemp, Soient
F= fff dxdydz , x = r sinvcos f, y=rsint7sint, jj=:rcosv , transformer F.
On a ici :
dx = — r sin f sin vdl + r cos ^ cos t?dt; -|- sin v costdry = r sin v cos ^d^ + r sin ^ cos vdv + sin v sin ^ sin v sin ^rfr ,
= — r sint;dt;+ cost* dr; d'où :
donc
smf;cost; cosf rsin'vcos^
at = : dty dr^ : dt ;
smr smf '
rsin V , dxT=z — dt.
sin /
On a ensuite :
d^ =: r sin ^ cos vdv -{- sin v sin tdr , = — r sin vdv + cos vrfr /
d*où :
