THÉORÈME DE TAYLOR

Soit u = f(x,y), je dis que Von aura :

(.d"x, , ^" V, ) 1 (,d*u f(x + h,y+k)-u + [()h + (-)kj + - j(-),..

le reste R ayant pour expression symbolique d-f(x + ^h,y + ^k) f h k )■

^ r^—ii — !d(M:^)+d(y+«k)î'®<*<*-

Démonst. Soient h «=sA', k=ek\ x + h =« «+ £h'=x', y + k=y -{-sk' =y^ ,

on aura :

pour f=0, on aura de plus xf=Xyy'=y.

Mais on a :

?{s)=Hx!,y'); donc:

'^"^^-d^^Ul^-^-dT^^dT^^

, d3f(a^y') ,dx',,d/,. , rf^fUW) , rfy' ,,

* dx'dy'» '^d.c''^ds^"^ di/'^ ^ d£ ' etc.

On a donc symboliquement :

Donc

- rib "•'<"'■>« fs + i' F- <"

Si nous faisons €=0, dans la fonction (a) , il vient : en multipliant par . — ; , on a :

Si dans (6) nous changeons s en s , 0<«<1 , nous aurons ;

ou :

1-2... n*^ M.2...n ^^ '^^ '\d(x + ah) Or on a y par le théorème de Maelaurin :

On aura donc symboliquement :

f{x-\-h,y+k)^t[x,y) + {dî(x,y) |± + i- 1' + ^^^d*f(x,y)

ou y en remplaçant t(x,y) par u, et les symboles , par la réalité , on aura la formule du théorème.

Coroll. On démontre absolument de la même manière qu'on a en général , et symboliquement :