THÉORÈMES DE MACLAURIN

Théorème cénéral de Maglaurin.

Si nous changeons, dans la formule précédente , oc, y, ... u;, en a, 6,.... S, puis A, *, ...î, en Jî— ra, y — 6,,.. t« — 5^ , on ^ur^ la formule générale de Maclaurih , savoir :

+ etc. + H.

Pour une fonction de deux variables , on aura le développement effectif :

-, .. . d{{aM , ^ df(a,fr)

+ etc. + R.

Les coefficients -^ , -j^ , -— -, -j^^ , etc. ,

expriment les valeurs constantes que Ton obtient , si dans les coêf-

^ . . df(x,î/) d«f(x,y) df(x,y) d«f(a;,y) ^ .

ficents —^ , -L^ , -^ , -^^ . etc., on change

X en a, y en 6, après les différentiations.

Théorème partiglxier de Maglaurin.

Si dans la formule précédente du développement de ((x,y9...w)y on fait a=0, 6«iO, ... 9=^0, après les différentiations , on aura , la formule particulière de Maclaurin. Pour le cas de deux variables elle prend la forme :

t{x,y) = A+(Bx+B.y) ^ ^^ (Caî«+2C.a:y+C,y*)

+ f^ (Dx'4-3D,x«y + 3D,xy» + D^y^) + + ew. -f R.

dt(x,y)

Les coefficients B, B,, «ont les valeurs des dérivées ' \ ' ,

ax

, lorsqu'on y fait a; s Oy j^sO» après les différentiations;

de même les C et les D sont les valeurs des dérivées du V et du 3°** ordre y pour âpsO^ys^O, etc.; enfin A est ce que devient t(x^y) pour les mêmes valeurs des deux variables.

Le reste R , a la forme symbolique ;

R = --J!— dH(xx,ay) j -j^ + -77^}".

U2...W ( d(cbx) d((iy) )

transformation des formules de Taylor et de Maclaurin.