TRANSFORMATION DE LA FORMULE DE TATLOR

SS"* Théor. Soit u = f(x) , je dis que l'on aura ; f (x+h) - fx=dx { rx+f(x+dx) + r(x+2dx) + r(x+3dx)+...

+ f(x+h dx)|^ pour toutes les valeurs x., depuis x=x, jusqu'à x«=x-f-h, (x étant supposé continu entre ces limites.

Démonst. Si fx est une fonction continue entre x et x-j-Ay

à supprimer le d, ce qui donne fx, puis à ajouter à fx une cons-^ tante arbitraire c.

Le procédé de Tinlégration défini est indiqué par la formule

J^fxdx^ r f«+c 1 = [f(x+A)+c] — [fe+c]*= f (x+A)- fx.

II consiste , comme Ton voit , â remplacer, dans l'intégrale indéfinie x, successivement par la limite supérieure x+h^ puis par la limite inférieure x » et à retrancher le V résultot du premier* Néanmoins y comme on a

yfxdx=cte {fa: + f(x+rfx)+f(x+2(ix)+...+ f(x+A)(,

ce procédé ne pourra être employé que dans le cas où Fx ne se réduit pas à la forme ^y pour aucune valeur de x, comprise entre les limites x et x-|- A de l'intégration» c'est-à-dire, il ne pourra s*employer que dans le cas où fx est une fonction qui reste continue entre ces limites.

CorolL 2. Nous pouvons maintenant donner une autre forme au i^ Théor. des notions préliminaires, compris dans !a formule

AX ^ En effet, on a y«=fx, et fX«^fx, si l'on pose Axas A , on aura :

Ay=«^f(x+A) — fx = AP(x + «.A), ou :

rpxdx^hr[x + a-h).

CorolL 3. Nous pouvons aussi changer les restes R des for* mules de Taylor et de Maclaurin en int^rales définies. En effet » soit

y:=.f{a^z) + zP{a-z)+ ^^VXa-z) + ...+

on trouve , en différentiant par rapport à z : dy z""-^

dz 1.2... (n—f)

f(n)(rt z) ,

(t'où, en intégrant :

y = î /z°-' ma —z)dz4.e.,

ou :

fia-z) + zP{a-z) + ^T'(a-z)-i-...+