INTÉGRALES INDÉFINIES
Soit t/srs/fxrfx, il est clair que dy^VxdXy et que l'on a, en conséquence :
dj t'xdx = /d( {^xdx) = Pxdx.
— lOG — îi. INTÉGRALES DÉFINIES.
Soit rintégrale définie
a,b,Xf étant considérés comme des fonctions d'une variable indépendante r, on demande la dérivée de y par rapport à r. Il y aura plusieurs cas à distinguer selon que a, 6, a; sont chacun seul une fonction de r, ou qu'ils le sont ensemble , ou deux à deux.
dy 1" Probl. a étant fonction de v trouver -p .
Solut. On a :
y =:>Jfxdx==da{ f a 4- f(a + da)^ eic.\ ;
donc a étant fonction de r, il suit que y sera fonction de r; on peut donc écrire :
y-^^{r)^J^fXdx,
et Ton aura :
dy = dfr^ \P{r + dr) — xjjr =JfXdx — J^xdx
a^da a
= JfXdx — [ y fxdx + Jfxdx ]
a^da a a-Ma
dy^=^ — / fxdx
= — [« + <^«— «]f[o+«(a + rfa — a)], 0<«<1, (Corol. 2,
S i7\ =3 — dafla-{-ada'\
= — da'fOf
b . dffxdx
b dffxdx
2™* Probl. b étant seul variable y ou fonction de r,
dy trouver ~.
dr
SoltU, On a :
I fxJx = — / fXd^ ;
dy donc aussi : ^= + f(6)-
ab
S*"** Probl. x étant seul variable ^ ou fonction de r,
dy trouver •— .
dr
b Solut. Soit y '^^ I ff(x,r)dx donc
y + dy =Jf{Xyr+dr)dx
[y(x,r)dx+ —^ ^dr]
= y + drj'f'(x,r)dx;
* dy = rfr 1 9^(^9r)dxt
dr ^ ^ dr
Donc, quand on a y= / fxdx, x variant seul, on aura :
^ = fr'xdx.
dx *y
dx
^me pi^oBL. a,b,x sont variables à la foisj ou des fonctions
de r, trouver —-.
dr
Soit y — f ,f{^9 ^y» > y sera une fonction de a,b,r^ donc
5;:.=(^)+(7jj) -35: +(^) ^. (»)
Mais on a :
doAc (1) devient :
II' SE€TIOI!I.
DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELIES DES FONCTIONS IMPLICITES, OU.. DES ÉQUATIONS , ET TRANSFORMAT^NS ' , '. DES ÉQUATIONS DDTÉRENTIELLES.
Nous partageons cette Section en deux Chapitres, dans le I" nous exposerons les règles pour la différentiation des équations, et dans le 4l"", nous donnerons les propriétés relatives aux transformations des équations différentielles.
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