A) ON DONNE UNE SEULE ÉQUATION

Lorsqu'on donne m équalions enlre n^m variables , le nombre. des variables principales ou dépendantes sera m,ei celui des variables indépendantes sera n-^tn, les inconnues seront tpujours les dérivées des variables principales par rapport à chacune des variables indépendantes.

!•' Probl. Étant donné ff==f(x,y)=0 , x étant la variable

dy d*y d'y indépendante^ trouver --^ , —4 , -rr» ^Ic.. sans résmdre dx dx* ' dx'

T équation fs=0, par rapport à y.

Solut. 1« Soient, pour abréger, ^=P, ^-^^^î'

d^y d*p dq

rfx' *^ rfac' "^ rfx *

On aura :

Divisons par dx , on ù :

^ dy^

d*v 2' Cherchons ^ ^ q.

A cet efTet , différentions l'équation

-T" = (-r-)+(-r-)P = 0, et divisons par dr , on aura : dx ^dx^ ^ ^dy^ ^

cfa« ^dx^^^^dxdy^^^^dy^^^ ^^ dy^^ ^^

En résolvant cette équation par rapport à 9^ et en mettant , à la

d*y place dep, sa valeur ci-dessus, on aura la dérivée -7^ qu'on demande.

En différentiant de nouveau l'équation (a) , et en divisant le ré-

suitat par rfx, on aura la valeur développée de j^™0 , dans la-

d^v quelle entrera r « --~; on trouvera donc r en résolvant cette

(iX

dernière équation par rapport à cette inconnue. On continuera ainsi pour tous les autres ordres.

Exemp. f=î/* — xy-J-2=0, donne :

-^ = 3ç + 6/>7+(2y-«x)r=0, etc. De ces équations on tire respectivement .

dx y — X d\i/ ^y{y—x) rfx« (ity — x)^' d^y Q{x—y)yx

' rfx« (22/

dx' ("iy—xV • elc. etc.

Les inconnues p, 9^ r, etc. sont exprimées en fonction de x et de y, pour les obtenir en x seul , il faudra en éliminer y à Taide de l'équation primitive.

2""* Probl. z étant la variable principale, déduire de la relation fsaf (x^y^zj-sOy les dérivées de z du 1*% 2% 3% etc., ordre par rapport à x et à j, et construire à l'aide de ces dérivées partielles, les différentielles totales de z pour les divers ordres.