Gela posé, je dis que Ton a généralement
da dx
Car on a :
dz
rfFœZ» 1
*- doc __^ dfz dz dz d^z
d^ """rf^*"^' li'^^^^lld^' ^^
Mettons ici les valeurs données par (v et par (s, on aura :
dlfZ* — J
dx dtpz ,àz dfz dz d^z
5. Différentions maintenant l'équation (d" par rapport à âi^nous
trouverons :
dFz dz
d\^ll^.tz*—l d^Fz ^ dz dx^
da* da
d¥ dz
Donc, SI nous posons j>z« — -.fz, on trouvera, par la formule (if :
,,dFz - dz^ ,rdFz — ,
d\ -fz- — 1 df .i5*l —
d'Fz ^ *- rfz do:-' ^ dx '' d[F^zJz«]
d«' da '^ dx dx ' ^
Comme z devient ;/;x, pour «=0, Ton voit que -r-;-, devien-
da
dra, pour « = :
dlW(^^*xy\^Y^
— 12! - 4« Chercher F"(0).
Différentions {ô par rapport à ^ , on a :
rfF — Mais en faisant dans (y, ^x =- -7- .fz*, l'équation précédente ,
dz à cause de cette relation (if , deviendra :
dFz :r-, dz d d'Fz
{ dx ) ^ dz dx ^
dcc^ dx dx^
dx*
Donc, pour «=0, on a :
On a donc généralement :
En substituant les valeurs trouvées pour F(0) , F'(0) , F"(0) , etc., dans la formule (*, on obtiendra la formule cherchée (a).
Coroll. Si l'on pose dans (a) f sr = 1 , on obtient :
F j;P(x+«) j = F(;Px) + «F'(^x) + ^ F"(;/.x) -f- etc. ,
formule plus générale que celle de Taylor , car celle-ci ne donne que le développement de ^'(^ + a).
l'« PART. 16
