ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES EXACTES DU !«' ORDRE ET DU 1*' DEGRÉ
Une équation différentielle est exacte lorsqu'elle provient de la différentiation immédiate d'une équation primitive.
Soit «s» f(aî,y)rr:0, une équation primitive, sa différentielle immédiate sera :
Donc , si Ton donne une équation différentielle de la forme
Prfa: + Qrfy = 0,
P et Q étant des fonctions de x et de y, elle sera exacte, lorsque l'on aura
t«= f(a?,y) = 0, désignant l'équation primitive.
33"' Théor. Soit Pdx + Q<Jy = 0> ^^^ équation différentielle du !•' ordre et du T' degré entre deux variables x, y , P ef Q désignant des fonctions quelconques de ces variables , je dis qu'elle sera exacte quand on aura :
'^ dy ^ ^ dx ^
Démonst. Pour que la proposée soit exacte , u •- {{x,y) = , désignant la fonction primitive , on doit avoir
De ces équations on tire, par la différentiation : ^ dy'~^dxdy'' ^ dx' ^dydx''
1" Exemp. Soit l'équation
(ao? + ^y + y K^ + (^^ + <^y + ^ )% = o ;
on a P = aa?-|-% + v, Q = /3x + <5^y + f .
donc la proposée est une différentielle exacte. 2™ Exmp. (x* + »* — a^)dy + («" + 2xy + a!*)rf» = ,
donne (---) = 2x, (-^)=2x;
donc la proposée est exacte.
Z-Exemp. Soit ^^^fc^, y yKx«+y*
on peut mettre cette équation sous la forme ;
* dx-\-[l — — )rfy=0.
On a ici :
Donc (4?) = -y (î^) = =^^^=;
ainsi la proposée est une différentielle exacte.
34"" Théor. Soit P dx + Qdy +Rdz = 0, P,Q,R, étant des fonctions de x,y, z, je dis que la proposée sera exacte^ quand on aura :
Démonst. Soit z ^{(x,y) l'équation primitive, on aura^ pour sa différentielle immédiate :
Mais de la proposée on tire dz=— — Donc, celle-ci sera exacte, quand on aura :
Différentions la 1" par rapport à y, et la i*' par rapport à x, et
dz=— r"*^*" vT'^y-
observons que P\ Q\ sont des fonctions deXfy,Zy tandis que z est fonction dex^y^ on aura :
Qr, comme on a (-7-t-) = (t— r-) » " v*cnt :
^dxdy' ^dydx
Mais , à cause de P'=— — ■jQ'zs; — -^ , on a :
rfP' __V lV ,rfP' ___^i___^
En introduisant ces valeurs dans l'équation (a), et en transportant tous les termes dans un même membre , le résultat sera la formule énoncée dans le théorème.
Exemp. Soit l'équation
2(y 4- z)dx + (» + Zy-{-'iz)dy+{x+y)dz = 0; on aura :
P = 2(y4-z), Q=a;+%+2z, R-x+y; d'où :
Or, la somme de ces trois produits étant nulle , Ton voit que la proposée est une équation différentielle exacte.
Rem. Si Téquation différentielle contient plus de trois variables, on obtient plusieurs équations de condition comme caractère de
l'exactitude de l'équation différentielle proposée. Soit, par exemple , l'équation aux quatre variables.
Prfx + Qdy -\- Rrfz + Vrf« = , ou du^-^dx—^dy-rçdz = V'dx-\-Q;dy + R'dz
on aura :
Donc
d«« dP' dP' du dP' dP'
d«« rfQ' dQ' d« rfQ' rfQ'
ce qui fournit une première équation de condition ^ savoir :
Mais on a aussi :
Ce qui conduit à une seconde équation de condition, savoir :
Ensuite on a :
^d^z^-^df^-^^diT^-^Tz^-^d^^ + ^d;^^'^'
d^u .(dR'dR^dudR^dW ^l^'-^l^^+^di^^^dii^-^^-^^-dli^^' d'où l'on conclut
RECHERCHE DU FACTEUR PROPRE A RENDRE LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES EXACTES.
35"*Théor. Toute éqtêation de la forme Pdx + Qdy=0, non exacte, peut être rendue exacte par la multiplication d^un facteur z, fonction de x et dey.
Démonst. Soit u=t{xyy)=c Téquation primitive^ on aura :
pour sa différentielle exacte , que Ton peut mettre sous la forme
Mdx + Ndy^O.
De eelle-ci y et de la proposée , on déduit
dy M dy^ P
dx~ N ' rfx ~ Q ^
P M d'où: o'^N' ^^ M = Pz,N = Qz.
Par conséquent l'équation
du = Pzdx 4- Qzdy = z(Pdx -{- Qdy) = , sera une équation différentielle exacte.
!'• Rem. Le facteur z ne peut pas être déterminé généralement , car il dépend de Tintégration , par rapport à z ^ de Téquation ^dPz dQz
^ dy ^~^ dx ^'
plus difficile à obtenir que celle de la proposée.
2"* Rem. On prouvera de même qu'il existe un facteur /ce, fonction de x, de y et de z, propre à -rendre une différentielle exacte, réquation Pdx + Qdy + Rdz = , supposée inexacte.
Car si Mdx + Ndy + Vdz=0, est la même équation rendue exacte, on aura les deux valeurs
dz ^ dx
dx K
,, , dx * dx
a ou : — = — ; par conséquent :
dz dz
dx dx
En ajoutant ces équations, il vient :
Mdx 4- Ndy + Ydz = fi(P dx + Qdy -f- Kdz\.
36"® Théor. Larsqu'ou connaît un seul facteur z , propre à rendre l'équation Pdx -+- Qdy = ,
exacte , on peut en déduire une infinité d'autres.
Démonst. Soit z le facteur propre à rendre la proposée une différentielle exacte dti = 5f(Pdx+Qcïy)=:0, l'équation primitive sera de la forme u=iCy et Ton aura^ en désignant par fu^ une fonction quelconque de u :
ywrfM = Zf M(Prfx + Qrfj/) = 0.
Le 1*' membre étant une différentielle exacte , le 2*^ membre sera aussi une différentielle exacte. Donc ^siz est un facteur ^ il y en aura une infinité d'autres, compris sous la forme z^fu; le plus simple de ceux-ci est z<^ti.
V Exeinp. aydx -{-6a:dj/=0, devient exacte pour x== — ,
xu
car alors on a :
rfii «= — I aydx + bxdy \ = ~ + ^ =rf./x»+ dly^ = xy { / ^ y
Donc réquation proposée devient encore une différentielle exacte à laide du facteur
xy
2"*" Exemp. P étant une fonction de x seul , Téqualion
Vydx-^dy^O
devient une différenlielle exacte, à l'aide du facteur a = — ; car
on a alors
1 dy fPdx^
du='^{Pydx + dy)^Vdx+ ^=rf(Iog.y.e ) = 0.
Donc ti = log (y. e ), et Ton peut prendre 9u=y«e
Donc 9tt.z = ve • — = c .sera au3si iin facteur qui
y rendra la proposée exacte , et l'équation
jVdx e
jpycfe + d»|=0,
sera une différentielle exacte.
S"» Eocemp. Soit l'équation dy'{'Vydx = Çldje, P et Q étant des fonctions de x seul , je dis qu'en la multipliant par le facteur
fPdx Zs=: e ,
elle deviendra une différentielle exacte. En effet , e (cîy + Vydx) , est une différentielle exacte ^ en vertu de l'exemple précédent ,
/Pdx aussi bien que Qe dx , qui est de la forme F^xdx^dFx.
4-'"' Exemp, adx-^-bdy, devient une différentielle exacte par le facteur x^y^^ donc aussi par a/**y'*^
De même x'^y^^cydx + gxdy) , deviendra une différentielle exacte par le facteur
donc par x^y^y donc aussi par x^^y^^. Il suit de là , que l'équation
aydx + bxdy = x^y'^^cy dx + gx dy) , dont le premier membre devient exacte par le facteur
«y et le second membre y par le facteur
deviendra exacte , en multipliant le premier membre par le facteur (a et le second par le facteur (|3, pourvu que Ton identifie les
exposants de ces facteurs , ou que ron pose
fLa = vc — fw,
fLbz=^vg — n;
j, , en — qm an — bm
dou A^= ^, v= — .
ag — oc ag — bc
37"* Théor. L'équation Pdx-J-Qdy=0, étant supposée homogène par rapport 4 x et à y, je dis qu'elle sera rendue exacte , en la multipliant par le facteur
Démonst. z étant le facteur de la proposée ^ on aura la différen* tielle exacte
Soit a le nombre des dimensions de cette équation ^ alors l'équa* lion primitive ti = f (x , j/) = c ,
sera de a+1 dimensions.
On a donc, par le théorème des fonctions homogènes :
Mais on a :
donc , l'équation précédente devient :
Pz.x + Qz-y — *, ou — *
Or dM = (Q<fo;4-Pdy).z=-0;
donc du = (Pdx + qdy{-^—— = ,
ou d« = (P<fa; + Qdy)> p^ ==0;
donc , le facteur cherché est
^"Px+Qy*
Exemp. Le fadeur de xdx + ydy^saO, est z =
x' + y'' celui de x^ydx + y*dy^O, est z=^ -^^ — ; — .;
celui de (a?+y)rfac+(y — x)rfy=0, est z=-— — -♦
^ +y etc.
DE LA SÉPARATION DES VARIABLES DANS LES ÉQUATIONS DE DEUX VARIABLES DU 1" ORDRE ET DU 1*' DEGRÉ.
Une équation Pdx+Qdy=Oy dans laquelle P et Q sont des fonctions de x et de y est séparée, lorsqu'elle est mise sous la forme
Xdx+Ydyr=0, X ne contenant que la seule variable x, et Y la seule variable y. La séparation des variables n'est pas toujours possible^ nous allons donner les cas où elle est toujours praticable.
!•' Probl. Séparer les variables quand l'équation a la forme fx'^ydx = ipy»%x«dy.
Solut. Il suffira de diviser les deux membres par le produit r!/*X^> <^dr alors on a :
ou — ax «= — au.
Exemp. (y—? y)dx = xdy , donne dx dy
2**** Probl. L'équation étant de la forme
f(x,y)dx+p(x,y)dy=0,
et homogène par rapport à x et y , séparer les variables.
Solut. Soit y = xty donc rfy — xd^-f-idx, on aura : f (x, y) = x**f(/) ,
a étant le d^é de rhomogénéité ,
y(x,y) = x«f(/); Inéquation proposée devient :
af'Udx 4- x^ftlx(U+ tdx] « , ou f^dx^-x?^(R+ /yNrfx = 0,
ou {U + tftyjx + xft.dt = 0.
On a donc, par le 1" problème :
dx ft*dt
IT ^~ U+tfi'
1" Exemp. Séparer les variables dans Féquation homogène xdx-j- yiy = ^ydx , ou (X — 2y)(fo+-ydî^=0.
On pose y=xf, dy^xdt-^-tdx ;
alors la proposée devient :
(x — îxf)(ix + x/(x(»+ f dx) = , \\ — 20dx + xtdt +*«dx=0 , (1— 2r+<«)(ix + xrd*=0,
T+(l-0' ^' 2""" Exemp. Séparer les variables dans l'équation homogène
xdy — ydx = dxl^x» -|- y^ .
On pose y^^xtj dy^ x*+ (cfx , alors la proposée devient : x^dt + xtdx — xtdx^ dx k^x«+x»/« , xdr = (/xKl + f% dr c/x
iîew. On peut traiter, par le même procédé, l'équation (ax + 6y + c)dx + (ex + fy + ff)dy=0 , qui devient homogène en posant
ax + 6j/ + c = M , ex-hfî/-l-ff = ^
3"" Probl. Séparer réquation linéaire dy + Pydx = Qdx, P et Q étant des fonctions de x seul.
Soliil. Soit y^Xt, X étant une fonction de ac seul, donc dy=^Xdt + td\; on aura, à la place de la proposée, la suivante : Xd^ + tdX + PX^dx = Qdx , ou Xdt+t(dX + PXdx) = (ldx.
On peut admettre que les indéterminés X et t, soient tels, que Ton ait dX + VXdx « , Xd( = Qdx ;
Alors on aura les deux équations séparées
=Pdx, dt=^ ^^ ,
équivalente à la proposée.
xdûc odoc
1 " Exemp. dy + y • ^ = u. ■■ , donne , pour
y = Xtf dy^^Xdt^tdX, la suivante :
^ , ,- , ^y, xdx adx
Xdt + tdX + Xt^ 2 r= r r , OU
1 — oc' 1— ac'
Xdt+t(dX + X -^) - -j^ ; donc 1 — X* 1 — X* '
xdx dX+X-. - =
ou
dX — xdx
X"~ 1 — x« ' adx
X(l— x>) 2"" Exemp, dy -{- ydx = ax^dx , donne, pour y=^Xt^ Xdt -f- t(dX + Xdx) = ax'dx ; d'où :
dX + Xdx = 0, Xdt ^ ax^dx j
ou
— dx, di =
ax^dx
Rem.
L'équation
dy + y*dx =
adx y
se sépare
immédiatement , car on a
dy = {a — y*)dxy
ÎT.
donc
a — y* Donc réquation
dy + y*dx ==« ax'^dx ,
qui se nomme Téquation de Riccati, est séparable quand m^O. Mais ce cas n'est pas le seul où elle soit séparable ; le théorème suivant renferme tous les cas où elle devint séparable , par des transformations convenables.
SS"** Théor. L'équation de Riccati
dy+y'dx = ax"dx, (1)
est séparable, quand m est de la forme — 4k
i^ TRANSFORMATION DE l'ÉQUATION (1).
Démonst. Soient y « -, — — — , donc dy = - — r^rz ;
dt /c«»+i=sf, donc x^dx= — m m + i
réquation (a) devient
dz + z^dt= r-TT^ t^^'dt; (a)
elle est de la même forme que la proposée.
Donc si la proposée est séparable pour m»n, la transformée (a) sera séparable pour
n, ou pour w=*—
2"' TRANSFORMATION DE l'ÉQUATION (1).
Soient y^t^fiz^ donc dy = dt — ^tzdt — tdz ;
x= — , donc x«»+^ = t-^'^^y of'dx^^ -- f'^-^dt , dt
la proposée devient -.
dz + z'^dt = af^^^dt. (6)
Elle est de la même forme que l'équation (1). Donc, si celle-ci est séparable pour m^n, Téquation (6) sera séparable pour — m — 4 = n , ou pour m^n — 4.
Mais l'équation (1) est séparable pour m » , donc , à cause de (6) , pour m== — 4 ; donc, à cause de (a) , pour m= — | , donc, à cause de (6), pour ?w = f — 4 = — |^,
donc ; à cause de (a) , pour m =« donc, à cause de (6), pour m = donc, à cause de (a), pour m««
donc, à cause de (6), pour m=f— 4= — ^,
donc, à cause\de (6) , pour w=:-^ — 4= — ^, etc., etc. \
Or, si dans m = , on pose successivement 4= 1 , 2, 5, ...
ona: »i = — f, -f,— ^,...
—4* Si dans w = rrr — r > oïi f^^*' * = * ; 2, 3, ... 2A— 1
on a : 7n= —4, — f, — t^ ^^c-
— 4* Donc , si m est de la forme — — -- , il faut , pour séparer
l'équation (1), la transformer, en posant
^ (m+ljz' '
Si m est de la forme 57 — j > il faut, pour séparer Téquat. (1)
la transformer en posant
Exemp. Séparer les variables dans l'équation dy^y*dx='ax'^idx.
9n« — I est ici de la forme , donc, je poserai :
y = 7 — 4 , jN , x""^*^^ =■ f , la transformée sera :
dz + z^dt=9at-^dL
w «» — 4 est de la forme ^ , donc , je poserai :
z = v — v^u, <=?= — , on aura:
du -{- ti^dv = 9adv.
Celle-ci est séparable immédiatement , et se met sous la forme
du
propriétés et transformations des équations linéaires d'(jn ordre quelconque.
ggme Xhéor. Véquation linéaire
à coefficients constants, se transforme en une équation ahjébriqv^^^
en posant y=e'^.
d^'u Démomt, Car on a -~ = a^e^ ; donc dx*
— -^ = a'»-*e*«, etc.; donc le 1" membre de C '^
devient ; a^'e'^ + Aa«-' e*« +. . . -f- IV e«*
ou e«'(a'» + Aa»»-! + ... + N). (2)
— Î45 — Donc^ réquation (1) sera satisfaite quand on aura :
a» + Ao»-»+...+N=0. (2)
CoroU. Soient a=ai, a,,...a«, les n racines de Téquation (2), ou aura les n valeurs correspondantes
y, = c«.«, î^, = c«»*, ... y» = e*«* , qui satisferont à l'équation proposée (1).
40"* Théor. Si les valeurs
y = Yi > y « > ys > • • • yn
satisfont à l'équation linéaire
Ay+Bg+...-l-Ng=0, {.)
A,By ...N , étant constants, je dis que la somme
y = C,y, + C,y,+C3y3 + etc. +Cnyn , (4)
de ces valeurs ^ multipliées par des coefficients constants, satisfera pareillement à cette équation,
> Démonst. On a, par hypothèse :
eic.
Mais de (6) on déduit par la différentiation :
En substituant ces valeurs dans le premier membre de l'équation (a), le résultat se réduira à zéro, à cause des relations (c) , donc la somme (6), satisfait à l'équation (a).
41"' Théor. Si y = yo y?, satisfont à l'équation
je dis que la somme
y = E,y, + E,y, + ... + E^yn, (/3
satisfera à téquation
Ay + Bg. + ... + Ng=X, (.
les coefficients E, , E, , ... et X, étant des fonctions de x seul, et A,B, ... N, étant des facteurs constants.
Démonst. En effet, (fi donne, par la différentiation :
dx* *dx* da;* d» dx ^ da? da: ^ •**
d-t/ p d»y/ d»y, , d°-\y. dE,
- ^!l!y? dE,
dx»-» ' dx + —
Assujétissons les fonctions arbitraires E,, E,, ... aux conditions
dE. , dE,
dy. dE. dj/. dE, __ .
lï ■^T'^d^*'^ "*■•••"""' / ("^
d»-»y.dE. d°-^y, dE, ^
dx"-» dx"^dx»-2' dx "^ "" ' alors on aura :
^ = E — +E ^y* I dx ' ex * dx
d"y „ d"y. d^, , d°-«y. dE. , d-«y, rfE, ,
dx»~*^'dF"^*'' dx-""^'**'^^=ï'd^+*Fï""i^+-
Si Ton substitue ces valeurs dans l'équation (y) , et que Ton fasse attention que Ton a par hypothèse :
A,. + Bf + ...+N^-0,
*^'-+Bt + - + «^=»' etc. ,
on trouvera pour résultat :
dx^"' dx ~ dx°-* dx ^ ^
Si donc nous déterminons n des coefficients (2E| dE] dEn
cfa; ' dx ^ **' doc ^ à l'aide des n équations ((i^ et (f, on connaîtra les fonctions E, au nombre de n , dont la somme {fi pourra se composer pour satisfaire à l'équation (v.
ABAISSEMENT DE l'oRDRE DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.
42"*" Théor. a, B, ... n, étant des fonctions de x seul^ je dis que f équation
s'abaissera d'un ordre , par la substitution
t étant la nouvelle variable dépendante.
Démonst. Prenons l'équation
On déduira de la relation (1 , les suivants : dy ^ rtdx d^y ftdx , dt ^
d^y ftdx ^ , ^ dt dH ^
donc (2 devient :
cette équation n'est plus que du second ordre.
Rem, Si A,B^ ... sont constants , on peut prendre r constant^ et poser y=e^^^«e**;
alors la proposée se réduit à
à cause de — -r = , --- =» 0.
da? dx
4,5111e f uigoR. X étant la variable indépendante, toute équation ne contenant pas y, s'abaissera d'un ordre en posant
dy Démonst, Car on trouve
di-p-
CorolL Si l'équation ne contient que y^ et qu'elle soit par conséquent de la forme :
X étant la variable indépendante , on la changera en une autre de
la forme f(y, , ... ) = 0,
dans laquelle y soit la variable indépendante, puis on posera dans
eelle-ci — = cr , et Ton aura une équation dy
du ^°-*a
dont Tordre a baissé d'une unité.
— liO —
44"*' ThÉor. Toute équation différentielle homogène par rapport d X, y, dx, dy, d^y, d'y, etc. s'abaissera d'un ordre au moins y en posant
V m ^—n ^-^ g d»y d«p r ^""^^ dx ~^' dx« "■ dx x' dx^ " dx« " X*'
d? "^ d?" "■ 1? ^ ^*^" âFy ne comptant que pour mte , et (dy)^, (dx)* pour p dî-
Dimonst. Soit réquation homogène à cinq dimensions
x*d*y + a?'dy cPy + xHyH'^y + y [dyY + x(dxy — , (1
Comme --^ est de 1 — p dimensions, il suit que les coëiB-
cients des termes de l'équation (2 , sont respectivement de -3, -2,-1,0
dimensions ; on peut donc poser :
d^y s d^y r d'y q dy ^ ^
dx* ""fl?' dâ?""Â?' dQ?~'x^ dx'^^'
si, de plus, on Tait y=ux, Téquation (2 deviendra :
