OU

g[2A^|+B+^Art+[A(|)-+l][x|-,l-0.

Mais la proposée donne t

x-y-\xy(fj

(Ix subsinuons ceci dan» Téquation précédente , nous aurons :

En divisant par ac^ , on trouve

i{.î!ï+^.JL=o. ou -^J^=o,

X c/ar* dx dx dx

y dy ^ , .....

ou — • -7^ = C ; équation linéaire.

X dx

3"* Exemp. Soit Téquation

(êl*[(*V + 6»)»-4aV] + 8a**y^4-(«»+i^+6»)«

4ay = 0;

en la différentiant^ et en éliminant by on trouve^ en faisant

dy ^ dx

(1 + PÎ)^ 4"' Exemp. Soit Téquation

en la différentiant , on trouve

ou T-, j («»-«') f+*y|-o,

doù §=0, (a«-x»)^ + xy = 0.

B. MÉTHODE D'EULER. a) MjSthode générale.

Si l'équation est de la forme

dy on fera -7-=P>

et Ton résoudra 1 équation algébrique

Soient p «» Ti , r, . . . r» , ses racines j

on aura les équations linéaires

f — r4«0, p— r, = 0, ... p— rn=«0.

dv ^Exemple. (^)*— a^-^-O, donne p* — o^«»0, p=s-|-a,— a,

d'où: p — ci«»0, p + a = 0, ou

b) Méthode particclière.

!•' Cas. La proposée ne contient que tune des deux variables x, y.

Si la proposée ne contient que x y elle sera de la forme iKa?,p)=0, d'où p^fx;

dODC ^ = f{x).

Exemple, x-i-a--- =6vl + (-^"P , devient :

dx dx

a; + ap = 6I/ 1 -f-p', d'où:

gdr i/(x^— 6^)(6^— g^) +a» dy

1'* Ren%^ Qa peut ausssi résoudre la proposée par rapport à x , ce qui donne

x = f(p), dx = f{p)rfp; donc ify =a pdx = f{p) •pdp.

L'exemple précédent donne :

x=—ap + byT+f, bpdp

dx= — adp-^

bjfdp

dy=z pdx = — apdp +

S"**^ -Rem. On pourrait aussi exprimer x ei p en fonction d'une 3"* variable u , on aurait alors :

^ = FM, />=!(«), donc dtf^pdx=^^u*V'u*du.

dy dâi

Exemple. Soit x' + ( -^ )» = ax ^, ou a:' + p» = opx ;

je ferai p=-wa:, alors on aura :

a:» + u'x' = owx' , d'où x =* ^^* , donc

tt» — •

««*' , ^ , a'M'd — 2w')dei

2"' Cas. L'équation est homogène par rapport à \ et à y.

Soit réquation f (a?, y, p) =« ;

je poserai y^vx, x s'en ira par la division, et la proposée sera de la forme F(i<,p)=0; par conséquent elle sera ramenée au cas précédent.

Exemple. L'équation y — ocp = wx|/ 1 +p' , pour y =« wx j devient w~p=nKl+p*, d où :

fi==p4-n|/T+^" , et

V\+p^ Mais on a dy ■» udx + xdu , ou

pd3g=[p4-nl^1-hp']da; + x[dp4---^ ?^-^ ]j ou dx ^ dp pdp

3"** Cas. i'wne de^ variables , par exemple y, n'entre dans la proposée qu'à la première puissance.

du Soit donc f{aî,y,p) t^O, P = "77 ' l^quation proposée; on la

résoudra par rapport à y , ce qui donnera un résultat de la forme

y=»F(x,p), d^où Ton déduit , par la différentiation :

dy =x Pdx 4- Qdp — pdx, P et Q étant des fonctions de x et de p.

On a donc 1 équation linéaire :

(P-p)dx + Qdp«0.

Exemple, ydx — xdy =» a y/[dj? + dy^) , donne

donc, en différenliant celte dernière :

pdp

dy ^ pdx = pdx -f- xdp -f- a

Ki-i-i,»'

t'pî a; + -^== )==0; d'où

ap S 28.