A. CAS D'UNE SEULE ÉQUATION

Soient ^ = f(^>J/?^); = F(^>.V>^)^

z étant la variable dépendante, pour exprimer que les expressions A et 6 subsistent ensemble ^ on dit que Tune est une fonction arbitraire de l'autre, et l'on pourra écrire explicitement

A = ?(e), ou, implicitement

f et ip désignant des fonctions arbitraires.

1®' Problème. Éliminer la fonction arbitraire ç^ d'une équation explicite As=y(6);

A e/ e étant des fonctions données de x,y ,Zf et z la variable principale, fonction des variables indépendantes xety.

Soliit. En différenciant la proposée par rapport à x et à y , on aura :

, dA , , .d\..dz. ... r , do X , .d$ dz

, dA dA dr di do dz

En divisant ces équations, f'[9) partira, et l'on trouve, en chassant les dénominateurs :

^^dy^Uz^ ''dz^^dy'^^dx^^^^dx^Ux^

. d6 ^^dX.^ .dz ^ (dr>(d:^)K;^)-0,

équation de la forme

qui ne contient plus la fonction ^.

2"* Probl. Les mêmes choses étant posées que dans le problème précédent y éliminer la fonction arbitraire 4'$ quand X est une fonction implicite de e de la forme ;/;(A,e) = 0.

En différantiant successivement par rapport à x , puis par rapport à y, on trouve

('l)"i)+(fxè)]+(fH(|)+(è)(ë))=..

Faisons passer les deux seconds termes dans l'autre membre , on trouve, en divisant :

^d^^ + (d7%^ ^fe^+^d;^^dl^

d^ dX dz dd do dz

!•' Exemple. Soient 2 » ? C ), étiminer la fonction

arbitraire 9.

tir tlz

Soient p=:(— ), ç = ( — ), on trouve, en différentiant d'abord par rapport à x , puis par rapport à y :

{Z Cy (Z C)» ^ J5— C^

En divisant ces deux équations^ on trouve, l'équation aux différences partielles

p(x— al + g(î/— 6)=z — c.

2"* Exemp. Éliminer la fonction ? dans réquation y — 62r = jfc (x\ — az).

On trouve : — 6p = (l — ap)«/(x— ajz) ,

i^bq^—(aq)*(p\x—az)^

bp i — ap . - .

3"" Exemp. On donne

ax-^by + z = ?[(x— w)«4-(j/ — n)* + 2«] , éliminer la fonction f. ^

On trouve : p + a = f'-[2(ap— w) + 2zp] , ç + 6=:/.[2(y— «) + 2z9]; on en tire ,. par la division :

p 4-!« ^ — m + pz 9+6 y— n+gz p[62:-(y— w)]— g[az-(x-.w)]=a(y — w)— 6(x— m). Remarque. Au lieu de différentier Téquation proposée par rapport à X , puis par rapport à y, on peut aussi procéder de cetle manière :

1 . On différentiera une seule fois par rapport à x et à y, en

regardant, comme constante, la quantité qui est sous le signe de

la fonction ;