j/ = xif
éliminer les trois fonctions arbitraires ?, ^, |.
1* Je différentie l'équation 1.) trois fois, en regardant v^fa comme constants, et z comme une fonction de x et de j/, on aura dx dz, ^ ^dy dx
1" PAUT. 21
- . .dp. d*z. ,dq. ,dp. , d*z .
^d^^-^df^ '•
Soit de plus -7- = -r-- =5 m', on aura , en différentiant (« :
pdni + fn[(^)dx + (^)dy] + {^)dx+i^)dy^dm.fcc. Ordonnons et divisons par dx , on aura :
Différentions de nouveau celle-ci de la même manière, et fesons
dm' rf»x ,,
— — =a - — = m'', nous trouverons :
dy dy* '
2*" Si Ton differentie la seconde équation aussi trois fois de suite^ par le même procédé , on trouvera :
l=m^ci), {a!
de ces deux dernières on tire m' = , m"=0 , par là les équations (iS et (y deviennent :
En éliminant enfin m ^ entre ces deux dernières équations ^ on aura l'équation cherchée, privée des trois fonctions arbitraires et de la quantité».
2™" Exemp, Soit proposé de faire évanouir les deux fonctions arbitraires, et leurs dérivées, dans les équations
z — \fjccs=s (x — <ù)^\f/a y
ainsi que la quantité « , fonction de a?, y, z.
Solution, l**La première différentiée deux fois de suite, donne mp + q = m\jj^v > m'p + m^r -f 2/w« + ^ == m';//a • (a)
S"* En différendant la seconde deux fois de suite , on obtient :
Celle-ci donne w'=«0, donc (a) devient :
wiv4-2ms + f=0. (6)
Pour éliminer m , je différentie (6) , en regardant m comme seule variable, ce qui donne
inr-j-5=0; (c)
on a donc aussi ^ par (h) ,
ms + t^O. {d)
En éliminant m entre celles-ci, on aura Téquation cherchée
ÉLIMINATION DE^ DÉRIVÉES DANS LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SIMULTANÉES.
1 *' Problème. On donne m + 2 équations entre les quantités
dy d°*y
^' dx''" dx"» '
dz d'z
dy d""y
éliminer les m + 1 quantités , y, — = p , ... -— = w.
Solution. On éliminera , par les procédés algébriques ordi- ^îres, entre les w-f-2 équations proposées , les m+i quantités ^ a»,... îi;, on obtiendra pour résultat une équation de la forme ^^ dz d?z V ^
^^^îne renfermera plus que», et les dérivées des divers ordres
2"* Probl. Étant donné deux équations ApT -fetc+B^ + etc. =0,
A.^+etc. + B.^ + etc.=0,
chacune de Vordre a par rapport aux dérivées de y, et de Vordre /3 par rapport aux dérivées de z , éliminer y, et ses
denvees -7^ , -r-r-, etc.
Solution. Différentions ces équations a fois de suite , soit 2« = w, on obtiendra w+2 équations entre les w-J-I quantités
y, -p , ... — I ; le problème est par conséquent ramené au cas
du problème précédent , et Ton achèvera l'opération comme il est dit dans ce problème.
3"* Probl. On donne deux équations d*v d^z
Ai^l + elc+B. ^+... = 0,
la première de l'ordre a en y ^ de l'ordre fi en z^ la seconde de Cordre s^ en y y de l'ordre b en z, éliminer les quantités dy d*y ^' dF' d?' '^'''
Solution. Différentions la première a fois, la seconde a fois^ on aura c+«=»w nouvelles équations, donc en tout w-j-S équa —
lions entre les m + 1 quantités y, —■ , ... — ^ ; le problème es^
(IX ux
dès-lors ramené au cas du premier problème, et la solution s*achè— vera comme dans ce problème.
Kl, :î7'«pi> — -ir^fn,
4"* PnoBL. Entre lesn + l variables x,y, z, ... s,t, l étant la variable indépendante^ on donne les n équations du 1*' ordre
dx dy ds
^=9o if-''-- dT dans lesquelles les î2"** membres désignent des fonctions données de x, y, ... s, t, éliminer toutes les variables principales y^Zi «.. S; et leurs dérivées^ de manière à obtenir pour résultat une équation différentielle y qui ne renferme plus que xeti^et les dérivées de x par rapport à t.
dx Solution. Différentions n — 1 fois de suite l'équation -r- , on
at
aura d'abord
En substituant ici les valeurs des dérivées ---, -r-, ... , donci^ at
liées par les équations (1 , le second membre sera une fonction
connue de se, y, ... s, ty que je représenterai par /*,, en sorte que
lona: ~ «f,.
On trouvera ensuite, par des opérations semblables, suecessived^x ^ cf^-ix ^ dx** ^
On aura ainsi les n équations
dx __ d^x d^-ix dx»
Des n — 1 premières de ces équations on déduira, par Télimination, les valeurs des n — 1 inconnues j/, z, ... s; en substituant ensuite les valeurs de ces inconnues dans la dernière des équations (2, on aura une relation de la forme
qui sera l'équation cherchée.
Exemple. Soient les trois équations
dx dy dz
(cl) __^a(y^2), ~ = i(x+2), ^=c{a:4-y);
éliminer y, z et les dérivées de ces variables.
remplaçant dans (7), (ya-{-z)par sa valeur -j-, on obtient Té-
En différentiant la première deux fois , on trouve :
(v) -^ss 2a6cx + a(a6+ac+6c) (y +J2).
La première des équations (a) , combinée avec Téquation {fi) , donnera
1 C^x dx ,. , , )
a(b^c) l dl^ dt )
En substituant ces valeurs dans l'équation (^), ou mieux, en
dx
quation cherchée
d^x dx dx
— - = 2a6cx + {ab -f ac + 6c) .^ = Arc + B — .
Remarque. On peut ramener au problème précédent les équations simultanées d'ordres supérieurs au premier, en posant
Â-"^' dt^ df "^^ dt- dt """ '•••
dt~^' le dt ~^ ' dt- dt "^ ••••
et en regardant a/, a/', ... y'^t/' ... , comme de nouvelles variables. On aura ainsi des équations du 1^' ordre, mais contenant un plus grand nombre de variables.
Je fais —=0/, j-ssy', on aura les équations du 1*' ordre
(It ut
Diiïércntions cette dernière deux fois , nous aurons : cPx' du'
dt^ dt dt
dx' -:2(2x— a/)— 20/+ ^;
y étant éliminé, ainsi que les dérivées de y, celle-ci sera l'équation cherchée ; elle peut se mettre sous la forme d^x d^ , dx
Théorème. Soit un système d'équations linéaires à coefficients constants, tel que
entre x^y et z, et les dérivées dey et de i^ je dis que ces équations seront satisfaites par les substitutions y=e^% z=ae>\
Solution. Car on a -i^=X"e^% — ^ = aA"e>^ dx" da^
Donc en substituant ces valeurs dans les proposées^ celles-ci deviendront algébriques , savoir :
An4-...+MA« + NA + P+Qa = 0,
aA»4.... + M'A+N' + P'a=0. {a)
Or, en éliminant a entre ces équations , on aura une équation en A, telle que
Elle déterminera les valeurs de A^a^ , A^, ... , donc (a) donnera les valeurs correspondantes de a = a^ , a, , ... , par lesquelles les substitutions y=c^*, z=ae^*, rendront identiques les proposées. Celles-ci seront donc encore satisfaites par les sommes
y = CjC^»* + c,c^** + efc. ,
TRANSFOnaiATlONS DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES.
Si Ton a une équation différentielle entre les variables x^y^Zj et les dérivées de Zy considérée eomme Tunique variable principale y celte équation de la Torme
contiendra les deux inconnues
et par conséquent ces inconnues devront être considérées comme indéterminées.
Ea général , les équations aux différentielles partielles , dont le nombre est toujours inférieur à celui des dérivées partielles inconnues qu'elles renferment , doivent être considérées comme des équations indéterminées , dans lesquelles on pourra par conséquent disposer des valeurs des dérivées inconnues pour transformer les équations données en équations différentielles ordinaires.
