A. TRANSFORMATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES DU 1" ORDRE

1" Problême. P, Q , R, étant des fonctions de x , y, z , . dz . . dz .

décomposer l'équation aux différentielles partielles

Pp + Qq-R = 0, (1)

en équations différentielles ordinaires , ou ne contenani plus que deux variables chacune.

Solution. De Téquation :

dz dz

dz dy

onure p=__g,

dz dx

et aussi : a — -; p -r- ,

^ dy '^ dy

par là Téquation (1) peut s'écrire :

«. . ^ ^ dz dx X w^ ^

Pp+Q(^-p^)-R=o.

Delà: Prfz- RdK-^glPrfy— Qifa), ou

Qrfz— Rrfy=p{Prfy -Qrfx).

pet g étant indéterminés , ces équations ne pourront subsister à moins qu'on n'ait à la fois

P(fe-Rdi;=0, Prfy— Q*p=0, Qife— Rrfy=0. (2

On peut aussi écrire ces équations sous cette forme :

dz dx dy

Les équations (2, qui remplacent la proposée (1) » sont des équations différentielles ordinaires ou totales, dont chacune ne renferme que les différentielles de deux variables.

!«' Exemp. L'équation py—ça:= 0, se décompose en

dx — dy

^T^Exemp. L'équation p(y— Bz)— g(a; — Az)+ Ay— Bx=0, est remplacé par

dx dy dz

I ' Il ■■ ■! *^ ■ ses ^

y — Bz kz — X Bx — Xy

3"' Exemp. L'équation px-f-gz-f-j^sO; (St remplacée par :

dx dy ^ — dz X z ~ y '

r* PART. 22

2""" PuoBL. 5ort z = f(x,y, u), une fonction primitive des trois variables indépendantes x , y, u , ayant donné lieu à l'équation aux différentielles partielles

Pp + Qq + Rr-s-0, (!)

transformer cette équation ^ en équations ordinaires simultanées.

Solution. On a :

dz^(-£)dx+(^)dy+(^)du=pdx^qdy + rdu, d'où:

dz dy du

dz dx du

diZ dx dy

Si nous substituons ces valeurs dans la proposée (1) » elle preo* dra ces trois formes :

fdz—Sdx=q{Pdy- Qdx) + r(Prfu- Kdx) ,

Qrf«- S*— iHPiij— (J<l»)+r(Q*i-RJj),

Rdi»— SrfM = —p{?du—Kdx) ~q{Qdu—Kdy).

Chacune devant subsister indépendamment de p, q, r, qui ne doivent pas être déterminés, il faut que les facteurs, qui multiplient ces indéterminées, soient simultanément égaux à zéro, et que Ton ait :

Pdz— Sd»=0, Prfy— Qdiif=0, Prftt— R(fa=0 , Qds— Srfy=0, Qrftt— R</y = 0, Rrfa— SrfM=0.

On peut mettre ces équations sous In forme dx dy du dz

1" Exemple. L'équation

r + ap -{- bq r=:ii , se transforme en :

dx dy du

S"*' Exemp. L'équation

{u+y+z)p + {u^x+z)q + {x+y+z)r^ (ti+x+y)=0, se transforme en

dx dy du dz

«+y+2 u + x + z x-^y'\-z t<+x-|-y* 3"' Exemp. L'équation

ocp-^yq^ur + ts — az «= , dans laquelle on a

se transforme en

dx dy du dt dz

X y u t az*