U. TRANSFORMATION DES ÉQUATIONS LINÉAIRES DU SECOND ORDRE

i" Problème. En posant (t-7)=i'> (t-t-) = s, (--4-) = t,

et en désignant par A , B , G , D , des fonctions quelconques

de X, y, z, pss(---.), q s==( -— ), transformer l'équation ^ dx dy

Ar + Bs-fCl + D = 0, (1)

en équations différentielles ordinaires.

Solution. La fonction primitive étant de la forme z=f(x,y) , on en déduit : dz = pàx + qdy,

L'équation (1) exprime une simple relation entre les inconnues r^Sft, et ne peut servir à les déterminer.

l"" Éliminons s et t, par les équations

^ c^ dx dq^ *P

■" dy ^ ' '^ dy ~ dy'

on trouvera

hdpdy+€dqdy—Cdpdx + ï)dy^=^rlAdy*—Bdxdy+Cdx*']. («) 2^ Éliminons r et t^ par les équations

(fo dy dq dx

dx cfo ay dj/

on trouvera :

kdpdy + Cdqdx+Hdxdy «. s[Ady«— Bcfecty + Crfx»]. (/3 3* Éliminons r et ^^ on trouvera :

Ai%wfa— Adgrdy+Bd?d«+IWx*===:— l[Arfy«— Bd^^ (y

Les équations [aj{fi^{^^ ne doivent pas déterminer r^Sjty et par conséquent elles doivent avoir lieu indépendamment de ces quantités, c'est-à-dire, chacun des deux membres de ces équations doit être nul par lui-même , et Ton a en même temps

Aity«— Bc&%+Ccfc»=0, ou A(^)«— B^+C =

kdpdy+Cdqdx+Hdxdy^Q, ou A^ . ^ + C^+I>^=(^ Brfiprfjf + C{dqdy— dpdx)+ Ddj» — 0, ou

A{dpdx—dqdy) + Bdjr(£e + Ddx* <» , ou

!•' Exemple. Transformer Ar+B«-f C^+D=îO, A,B,C, I> étant des constantes.

On trouve les deux équations ordinaires

2"" Exemp, Transformer Téquation

On trouve ici les équations différentielles ordinaires :

gm© pnQBL^ Transformer Véquation

Ar + Bs 4- Ct + Dp + Eq + F = ,

les coefficients A^B, ... F étant constants.

Solution. En opérant , comme dans le problème précédent^ on trouve les deux équations ordinaires

Ady^—Bdxdy + Crf«*= ,

Adpdy+ Cdqdx + dxdy (Dp + Eg + F)=0.

S"** Probl. Transformer Céquation différentielle partielle à quatre variables

A,B, ... étant fonction des quatre variables z,u,x,y, et de leurs dérivées partielles du 1" ordre.

Solt^ton. Des trois équations

.dz d*z , , d*z ,. . . d*z . .

,dz d*z , ,d*z^^ , , dH .^

dy ^ dydu- ~^ dydx^ ^^dy*'" )n tire les valeurs de (-r— ), ( -r-r)> (-ri), et on les substitue

- i74 — dans réquntion (1) ; on aura :

('-^)[Ddudxdy —Bdudy^ — Cdudx^] +

(^— -)[Fdurfxdy — Ad»%— Bdtt%] +

Adxdy.d^ + Bdudyd^ +C(ftidxd^ + Gdurfxdy = 0.

¥ . , . d^z . . ffz . . d^z . , . .,

Les quantités (-.-7—), ( t^t-)» ( T—r-) étant indeicrmi- ^ dxdy ^ ^ dMdj^ ^ ^ dudx ^

nées , cette équation ne subsistera qu'en ayant en même temps

Cdfl? — Ddxdy + Bdy8 = , Ady^—Edydu+ Cdu^=0,

Bdti? — Fdtidx + Adx«=0,

Adxdyd^ + Bdttdy d J.+ Cdwdx d^ + Gdiidxd^^O. ai* ax dy

., . , . , du du

Les trois premières étant entre les quantités j~> T~> "*^ P^"*

vent avoir lieu à moins que l'équation de condition suivante ne soit satisfaite :