A. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES

U^ Problème, y éiûnt une fonction de x^ donnée par l'équation différentielle du m** ordre

trouver le développement en série de la fonction inconnue ysfXy équation primitive de l'équation différentielle donnée.

d'^u Solution. De Téquation proposée (1), résolue par rapport à -r-^,

on tire par la différentiation :

(to^-** ^ dx' ' dx°^*'^' Mais si, dans la seconde de ces équations , on substitue à la

place de 'j^, sa valeur fournie par la première, si ensuite on

substitue dans la troisième pour — ^ sa valeur fournie par la

première^ et pour 5^ , la valeur donnée par la seconde , et

ainsi de suite y il est clair que toutes les dérivées y à partir de la m*, seront exprimées en fonction des dérivées première y deuxième , m — 1* ; on aura donc des équations de cette forme :

etc. etc.

Pour xss>a, ces expressions deviennent :

H»)o= ,i[a , fo , fo, .. . f — %] , ft^% = P, [o , f a , f o ,. .. ft»-«o ] , p>»+»)a = y,[o,fa,ro,... f'»-^], etc.

Mais on a, par la formule générale de Maclaurin

y=fx = f(«)H-^"fa+^^f« + ...+