m-l ^ 1.2...m ^1.2...in + l
En substituant dans cette formule les valeurs de f^^a y fM^)a , etc., obtenues par les équations précédentes , on aura le développement cherché 9 dans lequel entreront les m constantes inconnues » ou arbitraires
fa, fa, ... ft^i)a.
Rem. L'arbitraire a doit être choisie de manière qu'aucun des termes de l'expression (2), ne se réduise à la forme ^. Quelquefois la série (2) peut être sommée, alors on trouve la valeur de y sous une forme finie. Dans tous les cas la série (2) doit être convergente.
l** Exempk. Trouver le développement de la fonction inconnue
y = fx,
donnée par l'équation différentielle
-7^ + a«-f-6x' = , ou dx
fa;-4-ofx-h6x' = 0.
On trouve, par des différentialions consécutives :
rx + of« + 6a;'=0, r'x + ofx +36x'=0, f"x+al''xH-66x = 0, f "X 4- a V"x + 66 = , etc.
f(**«')x + af<»^'x = 0.
Pesons x=0, on tire des équations précédentes :
f(0) = -af(0),
r"(0)== — o»ll[0),
pv{0) = a«f(0) — 66, etc.
f(4+m)(0)=.— af(»t»)(0).
On a donc, par la formule particulière de Maclaurin :
3,=f(O)+r(0)x4-r(0) ^ -t-no)^-^ + etc.,
=- f(0) + af[-af(0)] + iL[a.f(0)] 4- ^[a»f(0)] +
y^[a*f(0)-66] + elc., = f(0)[l-«x+— -j-^ + etc.l
- ^* ( t:23 - 1:1:3 + TâTi- )+ *'«•
2"* Exemp. Développer la fonction yzsstx, donnée par l'é-
dy qualîon ac —^ + y + ox°*= , ou
On trouve xPx -^-fpc -f- ao?" = ,
xf'x + 3 f'x + ^w ( w — 1 )ax°»-2 ^ , etc.
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d** "dt* d»a
aura (t-^ 2?' "V t'-^"^ .. d«<p=
^^t-^»)" dx' ^,^, d^
,x-V''''dx^
da
Mais en développant fx par le ihéorèmc de Maclaurin, on a :
d'où ;
^-f"(0)+,"'(0)x + ,n0),4+fn0)^-i-etc.,
eic.
Donc z devient :
(f"(0) + f"{0)bt+...) fl + [^"'(0) + f(0)bt+ ...) j^ + etc. Soient ^0) + ,"(0)6f + ^ ^i, + .. . - -^O) ,
I * iS
,'(0)+,'"(0)6f+i^ + ... =1(0, ^ et I désignant des fonctions arbitraires ^ on trouvera : f"(0)+-,"(0)6f+... = i?^,
etc.
Donc , l'expression ci-dessus de z deviendra :
+ ^''+ 1:2:3 6dr +1723 iw- + ''''
It"* MÉTHODE, (par des séries d exponentielles).
Les équations aux dififérentielles partielles auxquelles conduisent ordinairement les problèmes de Physique et de Mécanique sont de la forme linéaire du ^ ordre
etc.
les coefficients A^ B^ etc. étant des fonctions de x,y,Zy ne contenant point la variable t^ et privées d'un dernier terme indépendant de u.
Or, nous savons qu'on peut toujours satisfaire à une telle équation par les valeurs particulières
w„=Eoe»»^, W|=«Eie*«*, t/j^Eje*^»*, etc.,
en nombres infinis^ Eg, Ei , E,, etc., désignant des fonctions arbitraires de x,y, z; donc son intégrale générale sera de la forme
«=Eo€M + Eie»'t -t- E,e»»*+ etc. = S^ [En A* ]. (^)
Lorsque la fonction u augmente constamment avec t, les constantes arbitraires a^^a^a^f etc. seront réelles. Mais lorsque les valeurs de u sont périodiques , comme dans les question» relatives aux petites oscillations des points d'un corps élastique , écartés de leur position d'équilibre, alors il faudra poser
a^t=3<ï^K— 1 , a|=a|K— 1 , aj=^rjl/ — 1, etc., et changer les exponentielles imaginaires en valeurs trigonométiiques, alors l'expression (2) prendra cette autre forme :
u = Hosin«o^-j- Hi sin ait-\' Hjsinajf-J- etc. -j- Kocos«o^-}- K| cos^if-f- KjCus^r8f+ etc.
= è [HnSin^nO + S [KnCOS^nO. (3)
1*) Détermination des fonctions' En*
En substituant la valeur (2) et ses dérivées partielles du 1*' et du 2*^ ordre dans l'équation (1), l'exponentielle e**»' deviendra fac-
teur commun , et la proposée sera satisfaite en posant î
+ (a^A + anP+I)En-Q. (4)
En intégrant cette équation on obtient généralement unç expression de cette forme
E„ = Fn(x,î^,z), d*où l'on tire :
Eo = Fo(x.y,z), E| = F,(x,î/,z), etc.
^°) Détermination des fonctions Hn ? Kn •
De réquation (5) on déduit, par la différentiation :
du
(^) = S («ûHn cos aj) — s (ttuKn sin ^^nO 7
(•^) = — S («^n Hn sin aj) —^ (a\ Kn cos aj) ,
etc.
(S^'"St(^>''"'^'^-^S[(^)cos^<], etc.
En substituant ces valeurs dans le 1**' membre de Téquation (1), on trouve, en ordonnant par rapport à sin^e, et cos^n^ :
IK„ — «'nAKa4-«nFlI„| COS«n^
On aura donc |/= , en faisant séparément
B(^) + C(^) + ... + IH„-«\4H„-«„FK„=0,
B(^") + t^i^) +... + IK„«UK„ + *„F[I„ = 0.
En inlégranl ces équations ^ on trouve généralement : H„= Fn{x,y,z) , K„= f„(x,î/, z) , d où : Ho = F^(x,y,z), H^ = F^(x,y,z) y etc.
Ko = fo(a?, y, z), K^^ ^ (x, y, z) , etc.
Rem. Après avoir déterminé les fonctions En^ ou les fonctions Hn et Kn f on aura encore à chercher les valeurs des constantes ^0 9^0 ^^^'9 ^of^iy^^C'} et de celles introduites par les intégrations ; toutes les constantes se détermineront par les conditions de ré(at initial et final du phénomène qui forme l'objet du problème^ et par des méthodes d'analyse qui reposent sur ces conditions. Exemple. Traitons , par le procédé de la 2^* Méthode , l'équation (Pu ^ (Pu 'dÂ~ **?* On trouve les deux équations :
En intégrant ces équations il vient :
n= Cn COS [- C n Sm ,
Hn=DnCos — • 4- D'n sin . On a donc
00 ( r anX . a^x^ \
M = s ) L^n^^S 1~ C nSm ] eOSCCrJ;\
+ g ] [Dn COS h D nsm — J sin a^t \ .
Il n'y aura plus qu'à déterminer les constantes «n- Cn, C'n,
ir* PARTIE.
