Exemp. Si dans y^^JÇ^±^^^^ , ,„ f,t
a; = 2, on obtient y=g, chercher la vraie valeur de y, correspondant à x=2.
On a ici :
F'a;=4a!» — 21x«+36x — 20, pour x=2, on a ^(a)»^
fa! = 4.<r» — 18x»+I2x+4, » x=»2, on a f (2) = ,
F"a=12ar'— 42»-|-36, » x=2, on a F'{2)=0,
f"x=:12x*— 30X + 12, » x=2, ona f'(2)=0,
F'"x = 24x— 42, » x=2, ona F"(2)=6,
f"x=»24x— 30, » «=2, ona f"'(2)=18^ donc , la valeur cherchée est
3"' Exemp. Chercher la valeur de y = -r -— ;^ , qui pour
x=- —., se réduit à g.
On a :
Fa?=: — cosx, donc F'a[;(— ) = 0,
fx= — (t — 2«)sinx— 2cosx, donc f'Cs-):»©,
F"a; = sin x , donc F"(J) = 1 ,
f"ar= — (t — 2x)cosx + 2sina;4-2sina:, donc f'(— )=i4, donc y = 7 .
(B) Fonctions impUeltes.
Soit M=f(x,y)=aO, ou î(=^x. On aura :
dy ^ dx^ F(x,y) F{x,\l^)
dx ~ df ~ i{x,y) ~ f(ac,ï/^x) *
Supposons que
F(aî,y)=0, f(a?,y)=0, pour «--a, y = ï//(a) = 6 , je dis qu'on obtiendra la vraie valeur de ;r- = §> si l'on cherche
uX
les dérivées par rapport à x des deux fonctions F(x,y), f(ar,y) , c qu'on y pose a; == a, y =« ipa = 6.
2"»PAiiT. 24
Car on a :
F{x,y) __ F(a;.^a!) ^ fi»,!/) f{x,^)
n<^.^) + ^ f" («, -A») + --^72^- F"(«, ^) + etc. ,
f(a>'pa) + ^^ f'(«, ;//«) + ^^^^ f"(«,'/'o) + elc. Comme on a par hypothèse F(a,;/rfi) = , f (a,<//o) == , il vient : F(..,) F'(«r^)+^F"(«,^)+...
donc, pour x=a, y=z\f/a = b , on aura :
F(a,6) ^ F(fl,iPfl) f(a,6) na.xf^a)'
Il faut donc prendre la dérivée de F(x,î/) par rapport à x , ce qui
, dF^ . dF^ dy ,. . .,,..,.
donne ( j~) + ("T") 3^ > et diviser par la dérivée de f(x,j^),
qui est () + (-)—, ce qui donne
et chercher ce que devient ce rapport pour x=za,y='^a=b.Le résultat sera la vraie valeur, à moins que cette expression ne se réduise encore à §. Dans ce cas, il faudrait recourir aux dérivées du second ordre , etc.
!«' Exemple, y étant fonction de x, tel que pour x = , on ait y = 0, on trouve que la fraction
dy ay — x^
dx î/' — flx '
devient g pour x=0 , cl y == 0.
En prenant les dérivées du numérateur et du dénominateur on a :
dy dx r. ^
^ âZ = 0, oui, pour x=0,,y-0.
^ , , . ^ ^y dx .
On trouve ces deux valeurs en résolvant -r- = — z
dx ^ dy
par rapport à --^, puis en faisant dans la résultat x=0, y=0.
QiX
On a^ en effet,
dy a^-Va^ — ixy 2a /v n
^^ 2y (a+y^a'-^ixy «
2"'£xeMp. De l'équation oy^+x* — 6x»î/=0, on déduit, par la différentiation
dy ^bocy — Ax^ . .
d^^^~ ^ay'--bx' ' ^^ Pour a:=0,î^=0, on a p=?. Donc, pour trouver la vraie valeur de p , on écrira :
d(26xy— 4x»)
dx bxp+by — 12a;^ .^
^~ dj'iay^—bx^) Zayp—bx
dx Pour x=0,y=0, la formule (2) se réduit encore àp = §; on fera donc de nouveau
d(6xp + 6v~12x'');rfx ^^ dx ^ ^
d(3at/p — bx):dx ^ . ^ dp , '
Cette expression, pour x=0, y = 0, devient :
p=x — - — i; ou p^p"" ) «0.
De cette équation on lire p = et p = ± |/— ; ces trois quantités sont les vraies valeurs de p, donné nar la formule (i) , quand on y pose x=0, y==0.
