CX

dséc(^)

, JTX

1 1+cosa

(1 — x) sin

;rX

2 0-«^)sîn-2

COS* -r-

Donc y pour x=»l , on a l<^ys==Ô9 H f«')ut donc prendre les dé^* rivées des deux termes de cette dernière fraction , et l'on aura :

1 — Tsînrx

— sin +— (l x)cos —

Cette fraction devient zéro pour x =1 , done la vraie valeur de logy=0; d'où yaae^sal.

6» VRAIE VALEUR DES FONCTIONS QUI DEVIENNENT 1* POUR x = a.

Soient î/ = Fxf*, fx=oo , Fx=l , pour x=a, en prenant les logarithmes, l'expression

logy=fx*logFx devient oo*Opourx=a;

donc la vraie valeur de \ogy s'obtiendra par l'un des rapports :

d log Fx dfx

dx dx

Mx^ MokFx^

dx dx

Soit log2^s=s6, celle vraie valeur^ on aura celle de y par la relation y=c^.

Exemple, y^x^"* devient 1" pour x=l. En prenant les logarithmes^ on a :

logy= ;; — -logx;

on a ici fx== , Fx=x, donc

d !og Fx dloo:x 1

dx ax X 1

dx donc logy = — 1, pourx==1; donc 2/ = e-^= — pour x = l,

r VRAIE VALEUR DES FONCTIONS QUI DEVIENNENT oo— oo,

POUR x=a.

Soit y=iFx — fx=oo — oo , pour xr^a, on trouvera sa vraie valeur en cherchant celle de e^y soit 6 cetle dernière, on aura y«log6.

Or, on a :

donc ey prendra, pour x««a. Tune des formes

On trouve, par conséquent, la vraie valeur e^, par les procédés qui conduisent à celles des expressions §,^, 0«oo .

Exemple, y = ; — . , devient v = oo — oo , pour

^ logx logx ^ '^

x= I ; pour trouver sa vraie valeur je cherche celle de

^ logx "

En différentiant les deux termes de cetle fraction , on obtient — = -*'

donc y 9z — 1 , est la vraie valeur demandée. REMARQUE GÉNÉRALE.

Les régies exposées dans ce § supposent que les fonctions Far, (x puissent se développer par la formule de Maclaurin pour la valeur parficulière x=«a. Lorsque le développement ne peut pas s'effectuer suivant les puissances entières et positives de x, on devra suivre le procédé que je vais indiquer,

Soient y =- -p, et Frt = 0, fa=:0; si Ton change x en x+A,

qu'on fasse x^a^ A=0, dans — ;—, il est clair qu'on aura la

valeur de y, correspondante ù x=a. Soit y^ cette valeur de y, on

Fa aura ya= 7— =§• Cela posé, développons les fonctions F{x+ft),

t{x-\-h) par les méthodes algébriques ou trigonométriques , et supposons, qu'en ordonnant le résifitat suivant les exposants croissants de h on obtienne :

F(a;-f-A) Fa: + A,/i''- + A,ft'''4- ...

t(x-\-h) ~ fa;-|-B,A»'+B,A*' + ... ' Mais pour x=sa , il vient Fa^sQ, fa^^O, on a donc aussi : F(a+h) A,ft''-+A.fe''' + ...

f (a+A) ~ B,A»' + BM' + ... *

== diA«.-». 4. M *•>-»■ + etc. (1) Bj

1' Soit a, =6, , la formule précédente devient :

• ., =s rri + M'A»»-*' + etc.

Donc, pour A=0, on aura :

2° Soient a^ — 6i = «, «>0, la formule (1) deviendra :

!Ml)^0+^A- + MA-». + e.c.

Donc, pour A=0, on aura :

3" Soit Oj — 6, =» — «, la formule (1) deviendra :

Donc, pour A=aO, on aura : • "^

Le procédé algébrique que je viens d'exposer pour la détermination de la vraie valeur des quantités qui se réduisent à ^ est plus général que la Méthode indiquée au commencement de ce §, et est applicable à tous les cas possibles.

V Exemple. Soit y = . Poura;=a, il vient y — §.

Mais on a :

Pour a:=o on obtient :

a+A — a Donc, pour A==0, on a

c*est la vraie valeur cherchée.

2"* £xemp. Son y==\/-7 r™^^^ ^ > o" aura

y :=§, quand on fera x^=a. Mais en développant les deux termes de la fraction

(jc+ft — g)i

puis faisant x=^a, on aura :

(2aA— A»)ï (4a)^A

Donc, pour A=Oy on aura :

c'est la vraie valeur de l'expression proposée.

1 — X 3""' JFxewp. î/=. . , devient y — z P^ur x = l,

JTX

cot-^ Mais ^"^ ^ , pour x = 1 , devient :

cot(-^+-) tg- -+i.

H-Vi» ^ '

^îfta — etc.

Donc, pour A = 0, on a j/a» — .