THÉORIE DES MAXIMA ET MINIMA DES FONCTIONS

Lemme 1 . a étant une quantité constante y et h désignant une vaviable pouvant décroître indéfiniment^ je dis qu'en faisant abstraction des signes, il sera totrjours possible de trouver pour h des valeurs propres à satisfaire à l'inégalité

(I) f(a)>h^(a+sh), 0<«<1, et que cette inégalité est d'autant plus vraie , que h diminue davantage.

En effet, soit A,, l'une des valeurs de h propre à satisfaire à Téealité f(a) = Aip(a+«A) ;

il est clair qu'en prenant pour h, des valeurs plus petites que hn, Finégalité (1) sera satisfaite pour ces valeurs , et quelle le sera d'autant plus que ces valeurs seront plus petites.

Corollaire i . Il suit de là qu*en prenant h suffisamment petit le binôme

{(a) + h\P(a + sh)

sera positif ou négatif, selon que la quantité f(a) sera positive ou négative.

Coroll. % Il suit aussi du même Lemme, que les deux binômes

+ f(a) + A;^(a+£A), -f(a) + A^(a-«M, ne peuvent jamais avoir le même ^igne , à moins qu'on n'ait

f(a) = 0. Coroll. 3. Les deux binômes

t{a)-hHa-Eh),

seront ensemble positifs ou négatifs, selon que f(o) sera positif ou négatif.

(A) MAXIMCM ET Ml!flMUM DES FO!fCTIO!IS d'uXE SEULE VARIABLE.

Si, pour une certaine valeur a dex, la fonction y = f(x), est telle que par des valeurs de A aussi petites que Ton voudra, on ait toujours en même temps

alors la quantité f(a) surpassera toutes les valeurs voisines de cette fonction et sera un maximum.

Mais si l'on avait, au contraire ,

cette /onction T(a) serait alors moindre que toutes ses valeurs voisines et serait un minimum.

Nous pouvons encore donner aux conditions précédentes du maximum et du minimum les formes suivantes :

f(a) sera un maximum, quand on aura en même temps f(a+A)-f(o)<0, f(a A)f(a)<0, et par conséquent aussi , quand on aura en même temps f(a + A)-f^ f(a-/,)-f(a) ^^

f(<>) sera un minimum , quand on aura

f(a + A)f(a)>0, f(a A)r(fl)>0:

donc aussi , quand on aura :

lt±J!)szM^(ï f(a-//)-f(a) ^^

2"* Théor. 5ot7 y=sfx , une fonction telle que pour x=sa, toutes les dérivées de fx, jusqu'à celle de l'ordre 2ii — 2, inclusivement disparaissent , je dis :

1® pour que f(a) puisse être un maximum on un minimum* la condition

f(2»-i)(a)=0 doit être remplie ; 2" cette condition étant supposée remplie ^ la fonction f(a) sera un maximum quand on aura

P«)(a)<0; elle sera, au contraire ^ un minimum^ quand on aura f(2«)(a)>0.

Démonstration. On a, par la formule de Taylor : f(a+/A)= fa + ra-A + etc. +

f(a— A)=fa— ^a•A^-e(e.+ ^2n— 2 /,2»~1 ii2n