n— 2 1...2n — 1 1...2ai

Mais par hypothèse on a :

fa=0, f"a = 0,... f(2»-% = 0, donc les relations précédentes pourront se mettre sous les formes f(rt-|-A)— fa 1 A

Mais pour qu'il y fait maximum ou minimum y les premiers membres de ces équations doivent avoir le même signe. Donc les deux binômes qui constituent leurs seconds membres doivent avoir le même signe, on a donc, en vertu du corolL 2 ,

f(2»-i)a==0, pour la condition générique du maximum ou du minimum.

Les conditions précédentes étant supposées remplies, on pourra donner aux deux relations ci-dessus cette autre forme :

f(a — A) — frt * i^. X, . A -ra...,

Pour le maximum , il faut que les deux premiers membres soient négatifs, donc les deux binômes qui constituent les seconds membres de ces égalités , doivent être négatifs quelque petit que soit A, donc, en vertu du 3'°'' coroll.^ on doit avoir

Dans le cas du minimum les premiers membres étant au contraire positifs, il devra en être de même à Tégard des seconds membres, ce qui, par le S"*' coroll., exige que l'on ait

CorolL 1. Si n=l , on a les conditions suivantes :

l"" Pour que fa soit un maximum ou un minimum, on doit

avoir I' (a) = ;

T Cette condition étant remplie , le maximum aura lieu quand

la condition

f'{fl)<0

sera remplie. Au contraire . le minimum exigera que l'on ait

Coroll. 2. Si w = 2 , il faut que Ton ait f"(a) = pour qu'il y ait maximum ou minimum; le maximum exige alors qu'on ait fï^o < 0, et le minimum f^a>0.

CorolL 3. Le théorème précédent conduit à la règle suivante : pour trouver le maximum ou le minimum d'une fonction yssfx, à une seule variable , Il faut l"" résoudre l'équation

Soit x^a l'une de ses racines,

2« Substituer ces valeurs dans la quantité

alors si l'on trouve f''a<0, la quantité (a sera un maximum; si l'on trouve Fa>>0, alors (a sera un minimum.

Mais si Ton trouve l"a = 0, Il faudra

Z*" Substituer a dans les deux fondions r"x et n^x;

la 1", savoir : P'a doit s'évanouir, pour qu'il y ait maximum ou minimum ; la 2***, savoir : T^a , doit être négatif dans le cas du maximum^ et positif pour le minimum.

Si Ton avait l^'^a = , il faudrait recourir aux dérivées suivantes ^ et f^, etc.

Remarque. Si x=a , rendait f'a = ^, il faudrait, pour distinguer le maximum du minimum , recourir aux conditions f (a ± A)< f a pour le maximum , et f(a=±= h) > fa pour le minimum.

Soit , par exe mple , f ac = 6 + (x — af ,

9{x—ay Px^^(x — a)*«=0, donne x=a, donc f'a = 5,r"a = 3, etc. Mais on a

f(a + /0=-6+/i^>6 = fa,

f(a— A)=6+A^>6 = fai donc {(a) =» 6 est un minimum.

Donnons quelques exemples pour servir d'application à la règle pour la recherche du maximum et du minimum.

V Exemple. Soit y=s{x=ax — x% on aura :

Vx=a — 2x, f'x=— 2.

fajsraO OU a— 2x = donne x=~, donc

2/ = a* ~ —• ( ^)* — ia' est un maximum.

2""^ Exemp. Soit î/= fx = x* -f- 2a;^ + 3 ^ d'où : f'x=4x^ + 4x, f'x«12a;» + 4.

fx = ou 4x3-l-4x=0 donne x=0,x=» |.^irî^ 3^== — \/Zr{ ,

1» Pour x = 0, on a Px=4, donc j/ = 3 est un minimum. 2** Pour x = V^^, on a r'x= — 8, donc

y=(j/'Zly4-2(J/'IIl)«+3==2 est un maximum.

3° Pourx=:— K^, on a Pa;«-— 8, donc

y = (— l/Hl )*+ 2(— 1/^)»+3 = 2 est un maxîm. Z"^^ Exemp, Soil j/ = fa?=x»— 5flra:* + So'x5+a% on aura : rx= Sx* — 20ax3 + 1 5a»x' , V^x = 20x5 60ax' + 30a'x , f'a: = 60x' — 1 20aa: + 30a' , f^x=î20x — 120fl, ^a;=120.

f x= ou Sx* — 20aa;« + 1 5a*a:« = aî«(x« — kax + 3a«) = , donne a?— 0, a;=0, x=:a, x = 3a.

1« Pour xs=0 on a rx = 0, r"x=30a« , donc

X ss ne rend y ni un maxim. ni un minim.

2** Pour xsaa on a f'x= — 10a', donc

y =3 (a» — Sa* H- Sa»+ a») =20*^ est un maxim. 3<* Pour X = 3a on a V'x = 90g3^ donc j/ = (3a)» — Sa(3a)* + 8a*(3a)5 4-a»— — 26a* est un minim. 4™' Exemp. Soit 3/ « fx =» x*, on aura :

fx=x*(l + logx),

f'x=:X«ji + (l + l0g^)'|.

f'a;=0 ou rc«(l+logx)=0 donne x* = 0, l-f-logaî=»0. 1" Pour x*=0 on a f'x=0, Px=;0, etc., donc y ne devient ni maxim. ni minim.

go i-]-logx = donne x= — , donc f"x=(— )« , donc

1 i y=:(-)eestun mini.

S"" JBxemp. Soit j/«=fxs=:e«cos2x, on aura :

fx=:e (cos2x — 2sin2x), Fx = — c*(4 sin 2x+ 3 cos 2x) ; f'x=0 ou e (cos2x — 2sin2x) = donne e^ssQ, cos2x— 2sin2x = 0.

!** Pour e*=0 on a f'x=0 , f"x=aO, etc., donc y ne devient; pour cette valeur, ni maxim. ni minim.

2" Pour cos2a; — 28in2j?=0 on a lg2aî=5, donc

sin 2ac = rt — := , cos 2x = ± — ==^ .

3® Si Ton prend les signes supérieurs, Ton verra que foc sera négatif, et si Ton prend les signes inférieurs^ Posera positif.

Donc y devient un maxim. pour les valeurs de x , données par les équations

sin 2x = , cos 2x = -— =; ,

et un minimum pour les valeurs

sin2x= ^:^, cos2ac= =.

e™' Exemp. Quelle doit être la hauteur et le rayon de la base d'un vase cylindrique d'une capacité donnée D , pour que la surface totale s soit un minimum.

Soient z le rayon de la base , x la hauteur cherchée , on aura

2D D=z»;r.a:, S=zV+2a;z?r = J3'?r -| . Mais

dS 2D

-—=0 donne âza- = 0: d'où

dz z*