B) MAXIMUM ET MINIMUM DES FONCTIONS DE DEUX VARIABLES

A et A: étant des quantités quelconques pouvant décroître indéfiniment , on dit qu'une fonction

devient un maximum pour x=»ayy = b, lorsque pour ces valeurs de a; et de 2/ on a constamment

>{(x + h,y—k), >{{x-h,y + k), >f(x— A,î/ — A:); et devient un minimum, quand on a, en même temps

quelques petits que soient les accroissements /( et k. Donc , plus généralement :

z sera un maximum pour x=a,y = b , quand pour les valeurs de h et k aussi petites que l'on voudra , les inégalités suivantes :

Ç{x-{-h,y-k)-nx,y)

ont lieu ensemble. Si les premiers membres de ces mêmes inégalités sont constamment ]>0 j alors elles constituent les conditions du minimum de z. L'on voit par là que ces quatre quantités doivent être de même signe pour qu*un maximum ou un minimum soit possible.

Lemme 2. X désignant une valeur numérique ^ pour que l'on ait constamment, quelque soit x ,

Ax« + 2Bx+C>0, Aa:« — 2Bx + C>0, il faut que les coefficients A ; B , C , satisfassent à la relation B«— AC<0.

Car on a :

Ax2 + 2Bx+C = [KA.xH — L]2^c— ^,

Ax«-2Bx + C = [-|/T-x+^P+C-^'; ^ L V^A A

d'où l'on voit que les premiers membres de ces égalités seront toujours positifs quand on a

C— ^>0 ou B« — AC<0.

3""* Théor. Les valeurs de x et de y propres à rendre z = f(x,y) un maximum ou un minimum ^ sont celles que Von déduit des équations

, dz . ^ , dz .

Démonstration. En ne considérant que les termes du 1" ordre, le développement de z = f(x,y) est

nx+h,y+k)=f(x.y) + (^)h-\-(^)k +

1 j d'f(x+sh,y + sk) rPf(x+sh,y-\-Bk)

l-2( d{x-teh)' ' d[x+,h-)d[y-{-^k)'^

d{y+ekY ] '

k En faisant — ==«, on peut supposer « constant, car k et h

variant arbitrairement , on peut admettre que ces quantités varient de telle sorte que leur rapport ne change pas. Posons de plus , pour abréger

J^r (Pf(x + 6h,y+sk) d^f{x + Bh,y^ek)

^•2L rf(^^q:7Â)« "^ "^ d{x^sh)d[y+ek)^

d^f(x+sh,y+sk) n d{y+ekf J expression dans laquelle on a <^ f -< I , - on aura :

r(-+h,y+k)^Kx,y) ^ ^ ^^dr df

h '■^ dx ^ ' dy ' ■' '

trouvera de même f(x-\-h,y-k) — f(x,y) , r,df df ,. .„

f(x-h,y+k)^f(x,y) df. .d/x -, , .R h =~^^d^^-^d^^''^ + ^^^^

h ^^ dx^^^ dy^ ^^

Or, le maximum ou le minimum de z ^[(x^y) exigent que les premiers membres de ees quatre égalités soient constamment de même signe, il faut donc, qu'en vertu du 2°'*' Goroll. du Lemme 1, on ait :

Gomme » est indéterminé, cette relation ne pourra subsister que quand on aura en même temps

i"' Théor. La relaiimi

^ dxdy^ <^dx2^^dy«*^"^ étant remplie pour un couple de valeurs, correspondantes X B- a , y s= b , déduites des équations (t) , je dis que la fonc tion z=3 f(x,y) sera un maximum pour ces valeurs, quand l'une des relations suivantes

sera satisfaite ; tandis que z deviendra un minimum , quand on aura

Démonstratiofi. En n'ayant égard qu'aux termes des deux premiers ordres, le développement de z sssf(x,y), d'après la formule de Taylor, sera

1.2 pdx*' ^ ^dxdy' ^ ^ dy« ^ j ^ i i d^f{s-{.sh,y+,k) ^, ^.3^,^ d*f{x+sh,y+ek)

dz diZ

Mais en supposant que les relations ("7~)="0,(— )=■ 0,

soient satisfaites , puis en posant pour abréger

d{x-^sh)d{y-\-ee) d{y-\- sky ) '

l'égalité précédente deviendra :

On aura de même :

(di^>'j+^«'«'

f(x—h,y+k)—f{x,y) i i.d^z. cr ^^ s ,

Cela posé 1" en regardant (-7-7), (jr) conime poskifs , les deux trinômes