Exmp. Soit r=ixy+(a— x— y

On trouve :

dou x=^o, y«=:i7Œ-

Comme on a ensuite

il suit que ^ ^^ "It" ^* ^^^ "** maximum.

3"' Exemp. De tous les triangles isopérimèlres chercher celui qui renferme la plus grande surface.

Soient x,y,z les trois côtés du triangle; posons 2p=x-|-y + z, nommons S la surface demandée , on aura Féquation

=i^ p(p—x){p'^y)(x+y—p) =« maxim.

On a ici les équations :

ou p(p-y)(2p-2x y) = 0,

p{p— a) (2p—2j/—ac) = 0.

On ne peut poser p — y=0, ni p — x= 0, car alors on aurait 2p=% = a; + j^-fz, y=x+z 2p — 2«=-«-{-j;+z, ar=y + z absurde.

Donc on a seulement

2p— 2x— y — 0, 2p— 2y — ar=0.

D'où: x=sy=lp, z='ip — x—y=lp.

Au reste, pour ces valeurs de a; et de j/ on a ;

donc la condition

^dxdy' ^ dx* ^^dy*^ *^ '

est satisfaite.

i"' Exemp. De tous les parallélipipèdes droits inscrits dans une sphère, trouver celui dont le volume est le plus grand.

Soient d le diamètre de la sphère , x,y,z les arêtes du parallélipipède, on aura l'équation

V = an/z -= xyy'd' — x* — y* = maxim.

On a ensuite

On a donc lés équations

dou : z=y =z=: ■.

En ayant égard aux équations {a^ on trouve de plus

Hem. générale. Soit z = f(a;,y ... w) , on prouve facilement con)me ci-dessus^ que les valeurs de x,y...M;, qui rendent z un maximum ou un minimum, s'obtiennent par la résolution des équations