C.) MAXIMUV ET MINIMUM DES FONCTIONS IMPLICITES

1" Problême, y étant une fonction implicite de x, donnée par l'équation

trouver les conditions du maximum et du minimum de cette fonction.

Solution. En différentiant la proposée, on trouve dx ^Uy^dx '

d'où f ^.

Donc comme ~ = est la condition du maximum et du dx

minimum , on en conclut que Tune des relations

doit être satisfaite, pour qu'il y ait maximum ou minimum.

En prenant la dérivée du second ordre de l'équation proposée , on obtient :

^dx*^'^ dxdy * dx'^^dy* '^ dx ^ '^^dy^ dx^ d'où l'on tire :

dhf ^dx^^^dy^ dxdy ^ dx^^ dy^^^ dif ^^ dx^

^dy^

Donc y sera un maximum ou un minimum, selon que cette expression sera négative ou positive.

Exemple. Chercher la valeur de x qui rend y un maximum ou un minimum , quand on a la relation

On a ici :

(— ) = 2(a;— û) = 0, d'où x = a, doncy=6dbc.

dx

Comme on a :

(^)=2 f-^1-0 (^)=^ ^d^^^' ^dxdy^-^' ^ df^^'

on obtient

d^y c^ + l donc 1° pour y=:6 + c on a j^ = r"<^'

donc yokb + c est un maximum.

dPy C* 4- 1 2** pour y=6 — c on a ~ = — ^ > 0;

donc y^zb-^c est un minimum.