D.) MAXIMUM ET MINIMUM DES FONCTIONS DE VARIABLES DÉPENDANTES

1*' Problème. Chercher les conditions du maximum et du minimum de la fonction

quand y est une variable dépendante , donnée par la relation

Solution. Comme z est une fonction dex, la condition du maximum y aussi bien que celle du minimum sera dz . dz . . . dz . dy

Mais l'équation (2 donne :

/du , , du. dy

( — ) dy dx^

dx du

^ dy^

Par là réquation (3 se change en celle-ci :

^dx^ ^dy^ du^ ^

^dy^

Cette équation , jointe à la proposée

11 = 0, serviront à déterminer les valeurs de x et de j/, propres à rendre z un maximum ou un minimum.

Pour le maximum il faut de plus que Ton ait

et pour le minimum il faut que l'on ait

Î1-(£1)^^(£L)^a.(É:^)i%^4.1±)^^0. (7 dx' ~^ dx' ^^ ^ dxdyUx^^ dy 'Ux^ ^Uy ' dx* ^ ^

du Il faut de plus substituer dans les relations (6 et (7 pour —

sa valeur (4 , et pour — ^ sa valeur tirée de l'équation

dy après avoir remplacé — par sa valeur (4.

Exefnple. On demande les valeurs de x et de y qui rendent

z=ax-}-6y (1

un maximum ou un minimum^ lorsqu'on a^ en outre, Téquation

^ . . ày X .

On a ICI : -^ = , donc

rfjc y

— = o + 6-p- =a — i — = 0; dx ^ dx y

et comme a:'4-j/"=r% on trouve a? = dt j , y = ==

Mais on a par (2 , en différentiant deux fois :

Comme on a d'un autre côté :

dPz ^ dPy , (Pz br^

— =.6^, on trouve -.

Donc 1° : En prenant

ar br

donc z =* ■ — r K a'* + 0* est un maximum .

2° En prenant

— ar — br

done js = — rV^aP+b^ est un minimum.