DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES
(a). THÉORIE.
Notations et définitions. Pour indiquer la valeur que prend une fonction f{n), de la variable n, quand n devient ^, nous écrirons :
Si dans la formule particulière de Maclaurin
fa;=f(0)+ r(0).x + f"(0) ^+ ...+ f<-«(0). ^^^'^ + R»
on a: [R„] , = 0,
le second membre se composera d'une infinité de termes, et le polynôme infini
f X = f(0) + f (0)x + r(0) ^^ + etc. ,
représentera le type du développement en série d'une fonction f x , d'une variable x, suivant les puissances ascendantes et positives de la variable x.
En faisant , pour abréger ,
la série précédente peut aussi s'écrire ainsi :
f (oc) = Ao+Axac+ Ajoc' + etc.
Nous avons déjà vu que la série de Maclaurin exige qu'aucune des fonctions consécutives
fx, f'x, f'x, Fx, etc., à l'infini,
ne prenne une valeur de la formel, pendant que x varie d'une manière continue, depuis x = jusqu'à x=x. Celte condition
exclut les fonctions qui ne peuvent pas être développées en séries procédant suivant les puissances ascendantes entières et positives de la variable x.
De plus y les fonctions qui satisfont à la condition ci-dessus^ ne donneront de séries convergentes que pour des valeurs de la variable a:, comprises entre certaines limites, telles que «<x<li3. Nous écrirons toujours , au-dessous de la série, les limites de la variable X entre lesquelles la série existe^ et en dehors desquelles elle ne peut plus servir pour les évaluations numériques.
Exemple. La notation
f j? = Ao + A4X+ A,x» -}- etc»
exprime que la série n'est convergente que pour des valeurs de x comprises entre les limites a et fi.
Lorsque la fonction à développer a la forme fractiomiaire
ÇX= ^ =yO + y'(0)X + ?"(0) i^ + .- +
Il faut , pour former les coefficients consécutifs y(0),y'(0), y"(0), etc., recourir à Téquation
pa:»fac== Fx,
dont la dérivée n® est :
y('*>x.fa? + ny(**-%*f^x+ ^ ^^~ ■ ?<*^%.Px+ etc. +
d'où Ton tire
fx ix { — 1*2 s
+ ?x.fC'»)a;|.
Si Ton pose w=l,2,3,elc. et x=0', on a d'abord
puis , par la formule précédente :
4f'lO)r(0)+T(0)fnr(0)j , etc.
Ces expressions donneront, pour le procédé récurrent, les valeurs des coefficients ^(0), ^'(0), /'(O), etc., de la série ci-dessus.
Quand Foc « 1 , les premiers termes des formules (a) disparaîtront et ces formules serviront alors au développement en série d'une fonction de la forme
tx
Lemme. f (b) désignant une fonction quelœnque de la variable n , je dis que la condition
entrainera la suivante :
Démonslration. Soit cc<^\ , et on pourra poser
S"' PAUT. 28
t defenant de pins en plas petit , k mesure que ii augmente. On peut done supposer v assez grand pour que < soit ^ 1 — a ou que a + t<^l, alors on aura, à partir de cette valeur de v les in^lîtés suivantes :
En maltipliaot ces p în^Iités entre elles, on aura, après la suppression des facteurs communs :
fit) <(^+')'-
Soit t7 + jp«ii, donc p«=sn— r, on aura
Comme on a « +£ < 1 , il est clair que (a+ s)*^ =0 ; done, en posant n»5 dans la relation précédente, le ^ membre disparai* tra , et Ion aura :
EXISTENCE DE LA SÉRIE DE MACLAURIN PAR RAPPORT AUX LIMITES DE LA VARIABLE.
Théorème. La sine de Maclaurin sous la forme f x= A^ + A^x + A,x» + etc., subsistera pour tout x , dont la valeur absolue est plus petite que la valeur absolue du rapport
Démonstration. On a :
fx = fO + f'0.x+ ^.. + ... + j-^-j .-. + R. , = Ao4- A,* + A,a;' + ... + A„ia;— i 4. R,,
Donc la série inûnie
fa? = Ao + A,x -+- A,x' -j- etc. , subsistera quand on aura
Mais, par hypolhèse P'*^, reste fini quand x varie de x=0 à x=Xf donC; en faisant
f(»50 * 1.2.. .n ' la série précédente subsistera quand on aura
Mais, en vertu du lemme précédent, cette dernière condition est remplie ; quand on aura
<1 pour n=i.
Wn Mais on a :
R^nfl OC'^-^-^An-H ^ An+1
R'n «"An An
Donc la série infinie subsistera pour les valeurs de x qui satis-
font à la condition
ou , à la suivante :
abstraction faite du signe de a.
